Funktionsgleichung: Inkubationszeit und Neuerkrankungen

Question

Das Robert-Koch-Institut in Berlin hat den Verlauf der Darmerkrankung "EHEC" untersucht. Die Zahl der erkrankten Menschen kann näherungsweise durch folgende Funktionsgleichung dargestellt werden:

f(t) = − 1/250 t³ + 1/10 t²

a) Berechnung, wie viele Personen am 10. Tag (t =10) erkrankt sind

b) Berechnung des Tages, an dem Epidemie vorbei ist

c) Berechnung des Tages, an dem die meisten Menschen erkrankt sind und Ermittlung der Anzahl

d) Bestimmung des Tages, an dem die meisten Neuerkrankungen hinzu kommen

a) f(t) = − 1/250 t³ + 1/10 t²

= − 1/250(10)³ + 1/10(10)²

= − 4                  + 10

= 6

b) f(t) = − 1/250 t³ + 10 t²

= − 1/25 t (t² + t)

= ...

Frage: Wie kommt man schrittweise und vollständig bei Aufgabe b) auf das Ergebnis 25 ?

====>   Bitte den ganzen Lösungsweg für Aufgabe c) und d) aufzeigen, da ich hierbei nicht so wirklich den Zusammenhang verstehe.

Answer 1

b) f(t) = − 1/250 t³ + 10 t²

          = − 1/25 t (t² + t)

          = ...
Grundüberlegung f ( t ) = 0
f(t) = − 1/250 t³ + 10 t²
f ( t ) = t^2 * ( -1/250 * t + 10 )
Ein produkt ist dann 0 wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist
t^2 = 0  -> t = 0  | Am Anfang der Epidemie
 -1/250 * t + 10 = 0
1/250 * t = 10
t = 10 * 250
t = 2500 Tage
Probe
f ( 2500 ) = -1/250 * 2500^3 + 10 * 2500^2
f ( 2500 ) = -6.25 * 10^7 + 6.25 * 10^7  | stimmt
t = 25 dürfte falsch sein

c:) Frage nach dem Extremwert ( maximum )
f ´ ( t ) = -1/250 * 3 *t^2 + 10 * 2 * t
t * ( -3/250  * t  + 20  ) = 0
t = 0
-3/250  * t  + 20 = 0
3/250 * t = 20
t = 1666.6666 Tagen
f ( 1666.66666 ) = -1/250 * 1666.6666^3 + 10 * 1666.6666^2
f ( 1666.6666 ) = -18.518.516,3 + 27.777.775,56
f ( 1666.6666 ) = 9.259259 Infizierte

So langsam kommen mir Zweifel ob deine
Ausgangsgleichungen richtig sind ?

Bitte einmal überprüfen.
Ich mache dann weiter.
mfg Georg

Nachtrag
Unglücklichsterweise habe ich 10 * t^2
anstelle 1/10 * t^2 verwendet.
Solltest du noch Fragen haben ( der Mathecoach
hat zwischenzeitlich schon geantwortet )
helfe ich gern wieder.
 

Comments

Georg, du hast die vorgegebene Ausgangsgleichung falsch übernommen:

f(t) = − 1/250 t³ + 10 t²      ====> falsch

f(t) = − 1/250 t³ + 1/10 t²   ====> richtig

 

t = 25 ist übriges richtig; habe sämtliche Lösungen vorliegen.

 

Lösung für Aufgabe c): 16 Tage und 9 Menschen

Lösung für Aufgabe d):   8,333 ≙ 8 Tage

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Georg, könntest du bitte anhand deiner bisherigen Vorgehensweise nochmal Aufgabe c) und d) mit der richtigen Ausgangsformel schrittweise berechnen ?! Mir fehlt ebenfalls, wie bei Mathecoach, das Verständnis für den Wert 3.

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c:) Frage nach dem Extremwert ( maximum )
f ´ ( t ) = -1/250 * 3 *t² + 1/ 10 * 2 * t
t * ( -3/250  * t  + 1/5  ) = 0
t = 0
-3/250  * t  + 1/5 = 0
3/250 * t = 1/5
t = 16 2/3 = 50 /3
f ( 50/3) = − 1/250 * (50/3)^3 +1/10 * (50/3)^2
f ( 50/3 ) = - 18.5185 + 27.7777
f ( 50/3 ) = 9.259

d.)d) Bestimmung des Tages, an dem die
meisten Neuerkrankungen hinzu kommen
Frage nach dem Wendepunkt.
f ´´ ( t ) = -6/250 * t + 1/5
-6/250 * t + 1/5 = 0
6/250 * t  = 1/5
t = 8  1/3 Tage

mfg Georg

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f'(t) = -1/250 × 3 × t² + 1/10 × 2 × t 

f'(t) =  t × ( −3/250  × t  + 1/5  ) 

f'(t) = 0 

 

Wie ist, im Bezug auf die Aufgabenstellung, eine Umstellung im oben aufgeführten Term "mal drei (×3)" oder "mal zwei (×2)" möglich ?

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Ich habe das Gefühl wir reden aneinander vorbei
oder verstehe nicht was du willst

f ´ ( t ) = -1/250 * 3 *t² + 1/ 10 * 2 * t
Punkte mit waagerechter Tangente
t * ( -3/250  * t  + 1/5  ) = 0
t = 0  | entfällt, da Beginn der Epidemie
und
-3/250  * t  + 1/5 = 0
3/250 * t = 1/5  | * 250
3 * t = 250 / 5  | : 3
t = ( 250 / 5 ) / 3
t = 250 / ( 5 * 3 )
t = 250 / 15 = 50 / 3 = 16  2/3 = 16.6666666 Tage

Nach 16  2/3 Tagen ist die Zahl der Erkrankten ( Maximum )
am höchsten.

Das Ergebnis haben der Mathecoach, du und ich doch
schon herausbekommen.

mfg Georg

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Mir geht es um kein Ergebnis, sondern um die beim aller ersten Schritt vorgenommene Multiplikation von 2 und 3 ?!

Wie kommst du darauf ?! f ´ ( t ) = -1/250 * 3 *t² + 1/ 10 * 2 * t 

Schließlich lautet die Ausgangsfunktion so: f(t) = − 1/250 t³ + 1/10 t²

Kann es mit der 1. Ableitung zu tuen haben und wenn ja, wie geht man in dem Falle vor, um f ' raus zubekommen ?

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[ a * x^n  ] ´
a * n * x^{n-1}

[ -1/250 * t^3 ] ´
-1/250 * 3 * x^2

Georg

Answer 2

Das Robert-Koch-Institut in Berlin hat den Verlauf der Darmerkrankung "EHEC" untersucht. Die Zahl der erkrankten Menschen kann näherungsweise durch folgende Funktionsgleichung dargestellt werden:

f(t) = - 1/250·t^3 + 1/10·t^2 = 0.1·t^2 - 0.004·t^3

f'(t) = 0.2·t - 0.012·t^2
f''(t) = 0.2 - 0.024·t

a) Berechnung, wie viele Personen am 10. Tag (t =10) erkrankt sind.

f(10) = 6

b) Berechnung des Tages, an dem Epidemie vorbei ist.

f(t) = 0
t = 25

c) Berechnung des Tages, an dem die meisten Menschen erkrankt sind und Ermittlung der Anzahl.

f'(t) = 0
t = 50/3 = 16.67

f(50/3) = 250/27 = 9.259

d) Bestimmung des Tages, an dem die meisten Neuerkrankungen hinzu kommen.

f''(t) = 0
t = 25/3 = 8.333

Comments

Wie sehen die einzelnen Schritte bei Aufgabe b) aus, damit die Zahl 25 alleine steht ?!

Wo kommen die Werte 50 und 3 her ?

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Die Zwischenschritte solltest du selber mal versuchen.

Eigentlich sollte es nicht weiter schwer sein

0.1·t² - 0.004·t³ = 0

nach t aufzulösen.

Eventuell Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt benutzen.

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 f(t) = − 1/25 t (t² + t)

Wie behandelt man diesen Term weiter, damit 25 alleine steht ?! Ich komme irgendwie nicht darauf.

 

In welchen Zusammenhang stehen die beiden Ableitungen mit Aufgabe c) und d) ?!

f'(t) = 0,2t − 0,012t²

f''(t) = 0,2 − 0,024t

 

Weiterhin bleibt mir eine Rätsel, wie du auf die Werte 3 und 50 gekommen bist ?!

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f(t) = 0 

- 1/250·t³ + 1/10·t² = 0
t^2*(-1/250·t + 1/10) = 0
t = 0

-1/250·t + 1/10 = 0
-1/250·t = -1/10
t = 25

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Jetzt habe ich Aufgabe b) verstanden. Mein Lösungsansatz war ja schon falsch. Das erklärt vieles. :D

 

Zu Aufgabe c) und d) ====> Woher entnimmst du die Werte 3 und 50 ?! 

c) Berechnung des Tages, an dem die meisten Menschen erkrankt sind und Ermittlung der Anzahl.

f'(t) = 0 
t = 50/3 = 16.67

f(50/3) = 250/27 = 9.259

d) Bestimmung des Tages, an dem die meisten Neuerkrankungen hinzu kommen.

f''(t) = 0 
t = 25/3 = 8.333

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f'(t) = 0  

ist eine Bedingung. Du solltest die daraus entstehende Gleichung aufschreiben und lösen. Ich habe dazu extra die Ableitungen die benutzt werden notiert.