Aufgabe:
Sie vermuten, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Größe \( L \) einer Pflanze qualitativ wie \( f(l)=A-\beta l \operatorname{mit} \beta>0 \) verläuft.
(a) In welchem Bereich darf \( L \) liegen und wie muss \( A \) gewählt werden, damit \( f \) tatsächlich eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist?
(b) Berechnen Sie Mittelwert und Standardabweichung der Pflanzenlänge in Abhängigkeit von \( \beta \)
Hier habe ich Schwierigkeiten, aber ich habe trotzdem Ansätze und Formeln parat.
\( P(a \leq X \leq b)=\int \limits_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \quad \) bzw. \( \quad \mu([a, b])=\int \limits_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \)
für alle reellen Zahlen \( a<b \).
\( \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(x) \mathrm{d} x=1 . \)
\( P(X \in[a, b])=\int \limits_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(a) \)
\( F(x)=\int \limits_{-\infty}^{x} f(t) \mathrm{d} t \)
\( \mathrm{E}(X)=\int \limits_{-\infty}^{\infty} x f(x) \mathrm{d} x \)
falls das Integral existiert. Allgemeiner ist im Falle der Existenz
\( \mathrm{E}(g(X))=\int \limits_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x) \mathrm{d} x \)