Wahrscheinlichkeitsdichte: Pflanzengröße

Question

Aufgabe:

Sie vermuten, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Größe \( L \) einer Pflanze qualitativ wie \( f(l)=A-\beta l \operatorname{mit} \beta>0 \) verläuft.

(a) In welchem Bereich darf \( L \) liegen und wie muss \( A \) gewählt werden, damit \( f \) tatsächlich eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist?

(b) Berechnen Sie Mittelwert und Standardabweichung der Pflanzenlänge in Abhängigkeit von \( \beta \)

Hier habe ich Schwierigkeiten, aber ich habe trotzdem Ansätze und Formeln parat.

\( P(a \leq X \leq b)=\int \limits_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \quad \) bzw. \( \quad \mu([a, b])=\int \limits_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \)

für alle reellen Zahlen \( a<b \).

\( \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(x) \mathrm{d} x=1 . \)

\( P(X \in[a, b])=\int \limits_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(a) \)

\( F(x)=\int \limits_{-\infty}^{x} f(t) \mathrm{d} t \)

\( \mathrm{E}(X)=\int \limits_{-\infty}^{\infty} x f(x) \mathrm{d} x \)

falls das Integral existiert. Allgemeiner ist im Falle der Existenz

\( \mathrm{E}(g(X))=\int \limits_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x) \mathrm{d} x \)

Answer 1

wende doch mal die Erkenntnisse an die du aus der Aufgabe

https://www.mathelounge.de/132963/wachstum-einer-pflanzenpopulation

gewonnen hast. Soviel anders ist die hier doch auch nicht oder?

Comments

Stimmt, aber man kann hier keine Zahlen einsetzen bzw. man bekommt nur allgemeine Lösungen heraus. Ich werde es versuchen und später posten.

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Hmm... Hier paar Ideen, die bestimmt wieder abenteuerlich sein werden:

L: darf zwischen 0 und l liegen, strebt aber nicht gegen ∞
A: muss größer als 0 und nicht negativ sein, also gilt A>0



f(l) = A-β*l  (β>0)

F(l) = ∫ (0 bis l) f(l) dl = A*-β*l 

F(l_max) - F(l_min) =F(l) |(l_{max≡höhere Prozentrate),}l_{max≡niedrige Prozentrate)}

E(l) = A-β*l/2 (bei der Hälfte der Pflanzengröße) z.B. 0m bis 1m ist E(X)=0,50m

s = √(E(l)) =

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Wo ist der unterschied zwischen dem Großen L und dem kleinen L. das erschließt sich mir noch nicht ganz aus der Aufgabe. Vielleicht hast du eine Idee. Ich hätte eigentlich auf f(L) definiert. Hm. Vielleicht hast du eine Idee.

In welchem Bereich darf L liegen

Es darf nur gelten f(L) >= 0 für eine Wahrscheinlichkeitsdichte. Das kannst du nach L auflösen. Dabei gehe ich davon aus das die Wahrscheinlichkeit von der Pflanzengröße L abhängig ist.

Wann ist der Graph eine Wahrscheinlichkeitsdichte? Stelle dafür eine Bedingung auf und löse die nach A auf.

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Skizziere dir mal die Funktion f(l).

Das sollte dir eventuell bei der Beantwortung helfen.

Für b) vergiss mal deine Ansätze solange a) nicht fertig ist.

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Ich habe es probiert, mal sehen ob mein Ansatz in die richtige Richtung geht:

f(l)=A-βl

Mathematisch nicht korrekt, aber als Gedankenstütze habe ich mir folgendes überlegt. Wenn ich A-β als Intervall betrachte, d.h. wenn aus 2 Werten 1 Wert wird (Subtraktion) dann entsteht eine Funktion:
f(l)=|A-β|*l

Beispiel:
A=5 und β=2
f(l)=|5-2|*l=3l

Entspricht folgende Funktion mit anderer Variable:
f(x)=3x

Je höher der Wert vor der Variable ist, desto mehr steigt die Funktion und bewegt sich zur y-Achse.

Folgende Funktionen wurden für die Skizze verwendet:
f(x)=x
g(x)=2x
h(x)=3x
i(x)=25x

Hier ist meine Skizze:

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Oh weh.

f(l) = A - βl 

ist vergleichbar mit

f(x) = A - βx

f(x) = b - mx

Bitte keine Betragsstriche machen.

Kannst du die Fett makrierte Funktion skizzieren. Notfalls setzt du ein paar Werte für b und m ein.

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Gut, stimmt. Das war ein großer Fehler von mir... Ja, ich werde die Funktionskizzen gleich hochladen.

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Ich möchte mich für deine Geduld bedanken! Andere hätten schon längst vor Verzweiflung die Flinte ins Korn geworfen! b verschiebt Graphen nach links bzw. rechts. und m ändert sich je nach Vorfaktor im Winkel. Hier kommt der 2. Versuch mit den Skizzen:

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Es kommt nur m > 0 in Frage laut Aufgabenstellung. Also sieht der Graph aus wie dein 2.
b also in unserer Aufgabe A ist der Schnittpunkt mit der Y-Achse.

Eine gültige Wahrscheinlichkeitsverteilung hätten wir eh nur im Intervall von 0 bis zur Nullstelle, da danach die Wahrscheinlichkeiten negativ werden. Also was ist das gültige Intervall für L?

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Das gültige Intervall für L befindet sich ausschließlich im I. Quadranten. Somit beginnt das Intervall von 0 und geht bis zur Nullstelle an der x-Achse. Dabei ist der Wert immer positiv. β ist >0 und somit gibt es keine parallele Gerade über der x-Achse (dies würde geschehen wenn β=0 wäre)

L(0,∞) ]0,∞[:={x∈ℝ|0<x)

rechtsseitig unendliches offenes Intervall
Es enthält alle Zahlen, die größer als 0 sind.

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Ja aber deswegen musst du L doch einschränken auf das Intervall von 0 bis zur Nullstelle. Also gilt es die Nullstelle auszurechnen.

Ich mache das mal wie ich es mir vorstellen würde

a) In welchem Bereich darf L liegen und wie muss A gewählt werden, damit f tatsächlich eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist?

L ≥ 0 und f(L) ≥ 0
A - β·L ≥ 0
0 ≤ L ≤ A/β

Ansatz für A: Die Fläche unter dem Graphen muss 1 sein.

1/2 · A · A/β = 1
A = √(2·β)

Daraus folgt für das Intervall:

0 ≤ L ≤ A/β = √(2·β)/β = √(2/β)

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L ≥ 0 und f(L) ≥ 0
A - β·L ≥ 0
0 ≤ L ≤ A/β

→Bis hier komme ich mit. Wie kommst du auf 1? Legt man generell 1 als Fläche unter dem Graphen fest oder nur für diese Aufgabe?

Nachdem man 1 festgelegt hat, ergibt es natürlich einen Sinn und man kann weiterrechnen und umstellen:
1/2 · A · A/β = 1
A = √(2·β)

zu b)

Mittelwert: \( \bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}}{n}=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} \)

Standardabweichung: \( s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum \limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}} \)

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Warum muss die Fläche unter dem Graphen der Wahrscheinlichkeitsdichte wohl 1 sein. Weil die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse eben genau 1 oder 100% ist.

Übrigens darfst du diskrete und stetige Verteilungen nicht verwechseln. Wenn du die Formel vom Mittelwert nimmst und dort das Summenzeichen auftaucht ist das ein Eindeutiger Hinweis auf eine Diskrete Verteilung. Hat man dort das Integralzeichen ist das ein Hinweis auf eine stetige Verteilung. Die Unterschiede sollten dir hoffentlich klar sein.

Und wenn du dann die Formel für den Mittelwert einer stetigen Verteilung gefunden hast brauchst du die im Grunde nur noch anwenden.

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Nächster Versuch:

\( P(a \leq X<b)=\int \limits_{a}^{b} f(x) d x \)
\( \begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &=\mathrm{E}\left(X^{2}\right)-(\mathrm{E}(X))^{2}=\frac{1}{b-a} \int \limits_{a}^{b} x^{2} \cdot 1 d x-\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}=\frac{1}{3} \frac{b^{3}-a^{3}}{b-a}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2} \\ &=\frac{1}{12}\left[4 b^{2}+4 a b+4 a^{2}-3 a^{2}-6 a b-3 b^{2}\right]=\frac{1}{12}(b-a)^{2} . \end{aligned} \)

Aus der Varianz erhält man die Standardabweichung
\( \sigma_{x}=\sqrt{\frac{(b-a)^{2}}{12}}=\frac{b-a}{2 \sqrt{3}} \approx 0,289(b-a) \)

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Du kannst nicht einfach irgendeine Formel nehmen. Die du da Aufgeführt hast gelten nur für ganz bestimmte Voraussetzungen. Erwartungswert (a + b)/2 gilt z.B. für eine Gleichverteilung im Bereich von a bis b.

Haben wir hier denn eine Gleichverteilung?

Wie sieht der Graph einer Gleichverteilung aus und wie sieht unser Graph aus?

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Ja, stimmt es ist keine Gleichverteilung. Ich habe bei Wikipedia nach dem Mittelwert und die Standardabweichung für stetige Wahrscheinlichkeiten gesucht, aber die Formeln treffen nicht zu. Ich werde nach den richtigen Formeln suchen.

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wir haben ja die Funktion der Wahrscheinlichkeitsdichte vorliegen. Eigentlich könnte man sich daraus bereits die Formel herleiten.

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Vielleicht ist das besser:

\( 0 \leq L \leq A / \beta=\sqrt{(2 \cdot \beta) / \beta=\sqrt{(2 / \beta)}} \)
\( P\left(0 \leq L \leq \frac{A}{\beta}\right)=\int \limits_{0}^{\frac{A}{\beta}} f(x) d x \)
\( P\left(0 \leq L \leq \sqrt{\frac{2}{\beta}}\right)=\int \limits_{0}^{\sqrt{\frac{2}{\beta}}} f(x) d x \)

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Ja. Das sieht schon fast ganz gut aus. Steht unter dem Integral denn nur das f(x) oder muss der Term im Integral nicht anders lauten?

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Korrektur die Funktion lautet f(l) nicht f(x):

\( O \leq L \leq A / \beta=\sqrt{(2 \cdot \beta) / \beta=\sqrt{(} 2 / \beta)} \)
\( P\left(0 \leq L \leq \frac{A}{\beta}\right)=\int \limits_{0}^{\frac{A}{\beta}} f(l) d l \)
\( P\left(0 \leq L \leq \sqrt{\frac{2}{\beta}}\right)=\int \limits_{0}^{\sqrt{\frac{2}{\beta}}} f(l) d l \)
\( P\left(0 \leq L \leq \sqrt{\frac{2}{\beta}}\right)=\int \limits_{0}^{\sqrt{\frac{2}{\beta}}} A-\beta l d l \)