χ²-Verteilung: Wahrscheinlichkeit und Verteilungsfunktion

Question

Aufgabe:

Die Dichtefunktion der \( \chi^{2} \)-Verteilung mit 4 Freiheitsgraden ist
\( f(x)=\left\{\begin{array}{l} 0, x<0 \\ \frac{x}{4} e^{-\frac{x}{2}}, \text { sonst } \end{array}\right. \)
(a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit \( P(X \leq 4)^{*} \).
(b) Geben Sie die Verteilungsfunktion \( F_{X}(t)=P(x \leq t) \) an.

Unten sind die Formeln, aber ich bin mir nicht sicher, ob es die richtigen Formeln sind. Was muss man bei der χ²-Verteilungsfunktion beachten?

Wenn χ₁,χ₂,...,χ_f standardnormalverteilte unabhängige Zufallsvariablen sind, dann ist die Summe ihrer Quadrate Y =χ₁²+χ₂²+...+χ_f² gerade χ²-verteilt mit Parameter f. Der Parameter f wird Anzahl der Freiheitsgrade genannt.

Für die Dichte der χ²-Verteilung gilt:

\( f(y)=c_{f} * y^{\frac{f}{2}-1} * e^{-\frac{y}{2}} \)

Mit Normierungskonstante \( c_{f} \) \( c_{f}=\frac{1}{\sqrt{2^{f} * \Gamma(f / 2)}} \)

wobei \( \Gamma(x)=\int \limits_{0}^{\infty} t^{x-1} * e^{-t} d t \)

Gamma-Funktion ist. \( \Gamma(n)=(n-1) ! n \in \mathrm{N} \)

\( E(Y)=f \)

\( D^{2}(Y)=2 * f \)

Comments

Bei a) ist hinter P(X≤4) ein Stern*. Unten auf meinen Aufgabenzettel steht Partielle Integration. Müsste man bei a) die Gamma-Funktion verwenden, wegen das Integral?

Also:
$$\Gamma (x)=\int _{ 0 }^{ \infty  }{ { t }^{ x-1 } } *{ e }^{ -t }\quad dt$$

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Skizze zur Funktion:

$$f(x)=\frac { x }{ 4 } { e }^{ -\frac { x }{ 2 }  }$$

Partielle Integration:

\( \int \frac{1}{4} x e^{-x / 2} d x=-\frac{e^{-x / 2}(x \log (e)+2)}{2 \log ^{2}(e)}+C \)

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Die Lösung ist richtig. Allerdings fehlen die Zwischenschritte und vereinfachen lässt sich der Ausdruck auch noch.

Hier mal mein Ansatz für die Aufgabe a)

\( X \sim \mathcal{X}^2_4 \\ \Large F_X(4)= \int_0^4 \frac{x}{4} e^{-\frac{x}{2}}dx=\left[(-2)e^{-\frac{x}{2}}\frac{x}{4}\right]_0^4-\int_0^4 (-2)e^{-\frac{x}{2}}\frac{1}{4}dx=-2e^{-2}-\left[e^{-\frac{x}{2}}\right]_0^4 =-2e^{-2}-(e^{-2}-1)=1-3e^{-2}\approx 0.59 \)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=P%5BX%3C4%5D+for+X~chi+squared+with+4+dof

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Hallo sigma,

 Wenn also in der Aufgabe P(x≤4) steht, dann steht die 4 für die obere Integrationsgrenze. Das ist wichtig für mich, damit ich weiß wie man Chi²-Aufgaben lösen kann.

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P(x ≤ 4)

Steht für alle werte vor 4. Wo beginnt die Chi^2-Verteilung ? Richtig bei x = 0

Also brauchen wir das Intervall [0; 4].

Da die Chi^2-Verteilung eine stetige und keine diskrete Verteilung ist brauchen wir also das Integral und keine Summenformel.

Das die Funktion über Partielle Integration integriert wird ist auch soweit richtig. Und das Endergebnis von Sigma stimmt auch. Wär auch ein Wunder wenn sich Wolframapha verrechnen würde :)

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Das stimmt :-). Ich finde es gut, dass man bei Wolframalpha eine Grafik hat. So kann man den Zusammenhang besser verstehen. Und das man bei einer Χ²-Verteilung ein Integral statt einer Summenformel verwenden muss. Wieder einen wichtigen Zusammenhang gelernt!

Answer 1

Du hast hier eine Dichtefunktion gegeben. Das ist eine ganz normale e-Funktion.

Unter b) sollst du jetzt die Verteilungsfunktion angeben.

Welche Beziehung besteht denn ganz allgemein zwischen einer Dichtefunktion und einer Verteilungsfunktion?

Wenn du das ergründet hast, kannst du sicher auch die Verteilungsfunktion angeben.

Wenn du Aufgabenteil a) nach b) machst ist das jetzt nur noch ein Einsetzen von 4 in t und ausrechnen.


Anmerkung: Ich weiß dass Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht so dein Thema ist. Und ich weiß auch wie Professoren durch die Vorlesung rasen.
Aber!!! Die Vorlesung ist eigentlich nicht dazu da dir den gesamten Stoff beizubringen. Das geht auch gar nicht. Eigentlich solltet ihr ein Buch oder Skript in der Vorlesung vorgestellt bekommen nach der der Prof. seine Vorlesung hält. Dieses Buch ist selbstständig zu bearbeiten. Das heißt eigentlich kommen auf eine Vorlesungsstunde in der Uni optimalerweise mind. eine halbe Stunde Vorbereitung und eine halbe Stunde Nachbereitung. Ich denke diese Zeit wird aber bei dir gerade in Wahrscheinlichkeit nicht ausreichnen.

Eigentlich ist eine Vorlesung nur dazu gedacht schwierige Dinge im Buch vielleicht etwas verständlicher zu machen.

Den einzigen Tipp den ich dir geben kann ist also wirklich mal ins Buch zu schauen. Und wenn das dir zu kompliziert ist dann gibt es in einer Bücherei oder Buchhandlung auch noch Alternativen.

Viele Dinge stehen auch im Internet drin. Das solltest du aber eher zum nachschlagen benutzen um die Dinge im Buch oder Skript für dich verständlich aufzuarbeiten.
Die Hausaufgaben sind ja eigentlich auch nicht dazu da das man sie in Portale einstellt um sie von anderen Lösen zu lassen sondern eigentlich dazu da damit man sich mit dem Stoff auseinandersetzt und ihn sich selber anhand der Vorlesung und des Buches oder Skriptes selbstständig erarbeitet.
Stellst du deine Aufgaben hier ein dann helfen wir zwar gerne aber dir geht ein wesentlicher Teil deiner eigenen herangehensweise Verloren.

Comments

ich weiß, dass es kontraproduktiv ist, weil ich auch dadurch sehr viel Zeit verliere, aber das Forum ist der einzigste Strohhalm den ich noch habe. Hier erhalte ich die richtigen Lösungen und mithilfe dieser Lösungen kann ich lernen oder verstehen lernen, welche Schritte erfolgen müssen. Es ist wie eine Quadratische Funktion oder Polynomdivision. Man schaut sich die Rechenschritte an und man weiß dann wie man Nullstellen berechnet. Anfangs kam ich noch gut mit (Berechnungen mit Mittelwert, Quartile, Median, Varianz, Standardabweichung). Mit jeder weiteren Übung sind aber die Statistikaufgaben schwerer geworden. Es gibt nur noch 2 Vorlesungen und somit 2 Übungen, wobei wir gerade die vorletzte Übung behandeln. Hätte ich keine Aufgaben hochgeladen, dann hätte ich in der Klausur keine Chance und die Wahrscheinlichkeit wäre gegen 0. Nun hoffe ich aber, dass ich die 50%-Marke erreichen kann, auch wenn ich weiß, dass es sehr schwierig sein wird. Ich bin für jede Unterstützung dankbar.

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Ich habe im Internet eine tolle Erklärung gefunden:

"Die Verteilungsfunktion ist die Ableitung der Dichtefunktion, die Dichtefunktion muss aufgeleitet=integriert werden, um die Verteilungsfunktion zu erhalten, also die Fläche unterhalb der Dichtefunktion."

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Völlig richtig.

Du hättest also eigentlich die Aufgabe lösen können ohne vorher irgendwas von Chi^2 gehört zu haben. Günstig ist es sicher aber trotzdem mal die Funktionen mit einem Funktionsplotter anzusehen. Damit man das besser Verknüpfen kann.