Aufgabe:
Sei \( \mathbb{P}_{\theta}=\operatorname{Beta}(\theta, 1) \) die Beta-Verteilung mit freiem Parameter \( \theta>0 \) und der Wahrscheinlichkeitsdichte
\( f_{\theta}(x)=c_{\theta} \cdot x^{\theta-1} 1_{[0,1]}=\left\{\begin{array}{ll} c_{\theta} \cdot x^{\theta-1}, & x \in[0,1], \\ 0, & \text { sonst } \end{array}\right. \)
(a) Bestimmen Sie die Konstante \( c_{\theta} \) so, dass \( f_{\theta}(x) \) eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist.
(b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion \( F_{\theta}(x) \) von \( \mathbb{P}_{\theta} \).
(c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten \( \mathbb{P}_{2}([\frac{1}{8},\frac{1}{4}]) \) und \( \mathbb{P}_{4}((\frac{1}{2}, \infty)) \).
(d) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz dieser Verteilung für beliebiges \( \theta>0 \) und den Median (das 50%-Quantil) dieser Verteilung für \( \theta=4\).
Problem/Ansatz:
(a) Hier bin ich von folgender Definition ausgegangen: \(\int_{0}^{1}f(x)dx=1\) und habe nach Integration \(c_{\theta}={\theta}\) erhalten.
Passt das?
(b) Hier fehlt mir leider der Ansatz
(c) Ist es hier richtig, dass ich hier \(\int_{\frac{1}{8}}^{\frac{1}{4}}f_{\theta}(x)dx\) bzw. \(\int_{\frac{1}{2}}^{\infty}f_{\theta}(x)dx\) berechnen muss? Wobei hier ja das zweite Integral divergent wäre. Ergibt das überhaupt Sinn?
(d) Hier fehlt mir leider der Ansatz
