Hallo Sema,
I. Flächeninhalt eines Rechtecks A = a * b (hier also 36cm2)
II. Umfang eines Rechtecks U = 2a + 2b
Aus I folgt a = 36/b
Das können wir einsetzen in II:
U = 72/b + 2b
Dies kann man als Funktion schreiben
U = f(b) = 72/b + 2b = 72 * b-1 + 2b
und davon die erste Ableitung bilden, um Maximum bzw. Minimum zu erhalten:
f'(b) = -72 * b-2 + 2
Dies gilt es gleich 0 zu setzen:
-72 * b-2 + 2 = 0 | +72 * b-2
2 = 72 * b-2 | : 72
1/36 = 1/b2 | Umkehrbruch
36 = b2 | Wurzel
b1,2 = ± √36
b = - 6 scheidet aus, da es keine negativen Längen gibt. Also
b = 6
2. Ableitung, um zu sehen, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt:
f''(b) = 144 * b-3
f''(6) = 144 * 1/63 > 0
Damit liegt bei a = b = 6cm ein Minimum des Umfangs vor.
A = 36cm
a = b = 6cm => U = 2 * 6cm + 2 * 6cm = 24cm
Sandro liegt mit seiner Behauptung richtig.
Mögliche Rechtecke mit einem Flächeninhalt von 36cm2 wären zum Beispiel
a = b = 6 | U = 24cm
a = 3; b = 12 | U = 30cm
a = 4; b = 9 | U = 26cm
a = 2; b = 18 | U = 40cm
a = 1; b = 36 | U = 74cm
a = 0,5; b = 72 | U = 145cm
a = 0,25; b = 144 | U = 288,5cm
Besten Gruß
