5 verschiedene Rechtecke mit Fläche 36cm^2 zeichnen. Umfang berechnen...

Question

zeichne fünf verschiedene rechtecke die alle den gleicehen flächeninhalt von 36cm² haben bestimme die umfänge sandro behauptet es gibt einen kleinstmöglichen jedoch keinen größtmöglichen umfang

 

brauche die lösung danke

Answer 1

Hallo Sema,

 

I. Flächeninhalt eines Rechtecks A = a * b (hier also 36cm²)

II. Umfang eines Rechtecks U = 2a + 2b

 

Aus I folgt a = 36/b

Das können wir einsetzen in II:

U = 72/b + 2b

Dies kann man als Funktion schreiben

U = f(b) = 72/b + 2b = 72 * b^-1 + 2b

und davon die erste Ableitung bilden, um Maximum bzw. Minimum zu erhalten:

f'(b) = -72 * b^-2 + 2

Dies gilt es gleich 0 zu setzen:

-72 * b^-2 + 2 = 0 | +72 * b^-2

2 = 72 * b^-2 | : 72

1/36 = 1/b² | Umkehrbruch

36 = b² | Wurzel

b_1,2 = ± √36

b = - 6 scheidet aus, da es keine negativen Längen gibt. Also

b = 6

2. Ableitung, um zu sehen, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt:

f''(b) = 144 * b^-3

f''(6) = 144 * 1/6³ > 0

Damit liegt bei a = b = 6cm ein Minimum des Umfangs vor.

A = 36cm

a = b = 6cm => U = 2 * 6cm + 2 * 6cm = 24cm

Sandro liegt mit seiner Behauptung richtig.

 

Mögliche Rechtecke mit einem Flächeninhalt von 36cm² wären zum Beispiel

a = b = 6 | U = 24cm

a = 3; b = 12 | U = 30cm

a = 4; b = 9 | U = 26cm

a = 2; b = 18 | U = 40cm

a = 1; b = 36 | U = 74cm

a = 0,5; b = 72 | U = 145cm

a = 0,25; b = 144 | U = 288,5cm

 

Besten Gruß

Comments

Beispielsweise A: 36cm Länge 3cm Breite 12cm Probe 3cm (mal) 12cm =36 hoch 2 u 2 (mal) 12+2(mal) 24cm+6cm =30cm

---

und davon die erste Ableitung bilden...   

Wird bei euch in der vierten oder fünften Klasse Differentialrechnung gelehrt ?

---

Wohl kaum ...

Woher weiß ich, in welcher Klasse sich der Fragesteller / die Fragestellerin befindet?

Answer 2

Formel Rechteck

Fläche =  Breite * Länge

Fläche 36cm^2

Nun 36 in 2 Faktoren zerlegen:

6 cm * 6cm             
4cm * 9cm

3cm * 12 cm

2cm * 18cm

1 cm * 36cm

Nun diese Rechtecke alle zeichnen und den Umfang bestimmen.

Du siehst:


6 cm * 6cm     ist ein spezielles Rechteck: Ein Quadrat mit Umfang 4*6cm= 24 cm        
4cm * 9cm          Umfang 2*(4cm+9cm) = 26 cm

3cm * 12 cm        Umfang 2*(3cm + 12cm) = 30 cm

2cm * 18cm          Umfang 2*(2cm + 18cm) = 40 cm

1 cm * 36cm         Umfang 2*(36 cm + 1cm) = 74 cm

Wenn Breite und Länge gleich lang sind, hat man offensichtlich den kleinsten Umfang.

Je kleiner die Breite desto grösser die Länge und offenbar wird der Umfang immer grösser.

0.1 cm * 360 cm hat auf dem Blatt keinen Platz mehr. Umfang: 2( 0.1 cm + 360 cm) = 720.2 cm = 7.202 m

0.01cm * 3600cm  Umfang 2*(0.01cm + 3600 cm) = 7200.02 cm = 72.0002  m

usw.
Der Umfang kann beliebig gross werden.