Wie kann man bei einer Gleichung, x1 und x2 ablesen ohne die pq formel anzuwenden?

Question

Beispiel:


x² - 5x - 14
eingesetzt in die p-q-formel kommt bei mir x1=  7 und x2= -2 raus.


kann ich das auch direkt an der gleichung (oder polynom?!!) ablesen ??

Comments

Dein Beispiel ist keine Gleichung!

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ja ich meine doch 

 

x² - 5x - 14 = 0 

 

wie kann man hier jetzt schon ablesen dass am ende 7 und -2 rauskommt ?

Answer 1

Ja. Das geht mit dem Satz von Vieta.

--> https://de.wikipedia.org/wiki/Satzgruppe_von_Vieta

(x - a)·(x - b) = x^2 - (a + b)·x + a·b

Bei x^2 - 5x - 14

Wir zerlegen also -14 in zwei Faktoren.

- 14 = -1 * 14
- 14 = -2 * 7
- 14 = 2 * (-7)
- 14 = 1 * (-14)

Nun Bilden wir die Summe der Faktoren. Wo die Summe 5 wird haben wir die Nullstellen gefunden.

-1 + 14 = 13
-2 + 7 = 5
2 + (-7) = -5
1 + (-14) = -13

Mit ein wenig Übung geht das so schnell, das du in Null-Komma-Nix die Nullstellen nennen kannst.

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Hier ein paar Terme zum üben

x^2 - 12x + 20
x^2 - 0x - 4
x^2 - 5x + 0
x^2 - 3x + 0
x^2 + 5x + 4
x^2 + 10x + 21
x^2 - 2x - 63
x^2 + 15x + 54
x^2 - 4x - 60
x^2 - 9x + 14

Answer 2

 

wenn Du

x² - 5x - 14

zerlegst in

(x - 7) * (x + 2)

kannst Du die Nullstellen x₁ = 7 und x₂ = -2 direkt ablesen.

Offensichtlich ergibt sich das absolute Glied aus dem Produkt der beiden Nullstellen (-7 * 2 = -14) und das lineare Glied aus der Summe der beiden Nullstellen (-7 + 2 = -5).

 

Ob man dies immer sofort findet, ist natürlich die Frage :-)

 

Besten Gruß