Stetigkeit einer Funktion: f(x, y) = x·y/(x^2 + y^2)

Question

Was muss ich genau machen, um zu zeigen, dass eine Funktion stetig ist, z.B.

x=y=0

xy/(x^2+y^2)

Vielleicht kann mir jemand auch noch ein anderes Beispiel zeigen oder sagen, welche verschiedenen Wege es gibt, um Stetigkeit zu zeigen, auch bei anderen Funktionen und Beispielen.

Answer 1

f(x, y) = 0 für x = y = 0
f(x, y) = x·y/(x^2 + y^2) für alle anderen werte

Machen wir doch eine Abschätzung

lim x = y --> 0

lim (x = y --> 0) x·x/(x^2 + x^2)

= lim (x = y --> 0) x^2/(2x^2) = 1/2

Der Grenzwert geht da also gegen 1/2 und nicht gegen 0. Damit ist die Unstetigkeit gezeigt.

Comments

Muss ich das immer so machen und den Grenzwert dafür benutzen? Oder gibt es noch andere Möglichkeiten, Stetigkeit zu zeigen?

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Nur wenn es den Funktionswert selber nicht gibt muss man den Grenzwert benutzen.

Ansonsten schau mal unter ähnlichen Fragen

https://www.mathelounge.de/135264/ist-diese-funktion-stetig

https://www.mathelounge.de/tag/stetigkeit

Weißt du denn was es bedeutet wenn eine Funktion stetig ist, oder wann eine Funktion nicht stetig ist?

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Ja, die Definitionen habe ich aus unserem Skript. Ich bin mir halt nur unsicher, wie ich das genau zeigen kann bei verschiedenen Beispielen, weil ich da für mich noch keine klare Methode erkannt habe.

Danke für die Links.

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Oft kommt es vor das du mehrere definitionen einer funktion für unterschiedliche intervalle hast. du brauchst dann nur zeigen das der linksseitige grenzwert gleich dem rechtsseitigem ist und diese dem funktionswert an der stelle entsprechen. die grenzwertbildung braucht man dabei nur machen wenn ein term selber an einer bestimmten stelle nicht definiert ist. so wie hier. man kann ja nicht einfach für x und y null einsetzen weil dann der term nicht definiert ist. das heißt dann also grenzwertbildung.

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Gut, danke! Dann werde ich mir noch einige Beispiele raussuchen und versuchen diese selber zu lösen. Falls ich Probleme habe, werde ich das hier im Forum als Frage posten.

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Hi,

es ist nicht immer ganz so einfach. Bei zwei Veränderlichen kann es durchaus möglich sein, dass für x und y gegen 0 eine scheinbare Stetigkeit vorliegt.

Bei zwei Veränderlichen wird meist über Nullfolgen argumentiert. Erst wenn alle Nullfolgen tatsächlich gegen den gleichen Grenzwert gehen, liegt Stetigkeit vor. Hier hat die Untersuchung von x und y gegen 0 (was je Nullfolgen sind) ausgereicht um Unstetigkeit zu zeigen. Eventuell müssen aber andere Nullfolgen wie beispielsweise x -> 1/n etc untersucht werden ;).


Grüße

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Man könnte sogar den Grenzwert eines Kreises mit dem Radius r um den Ursprung untersuchen wo r dann gegen 0 geht. Ich glaube das hatte ich auch hier mal in irgend einer Aufgabe gezeigt. Aber das kommt extrem selten vor. In der Uni werden ja meist eher die einfachen Beispiele genommen.

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Einfache Beispiele sicher. Meist sogar Unstetigkeit? Aber oft wird verhindert, dass man direkt einfach x und y gegen 0 laufen lassen kann. Da brauchts oft etwas mehr. Deswegen der Zusatz^^.

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Eigentlich ist die gegebene Funktion für x = y = 0 gar nicht
definiert, kann dort also insbesondere auch nicht stetig sein.

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Ist sie auch nicht völlig richtig. Leider versäumen es aber die meisten Fragesteller die Frage richtig aufzuschreiben.

Daher habe ich in meiner Antwort das ein bisschen präziser zu formulieren wovon ich ausgegangen bin was in der Fragestellung gemeint ist.

Es würde ja dem Fragesteller nichts bringen wenn man sagt nicht stetig weil nicht definiert.

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@mathecoach
beim der eigenen Bearbeitung der Frage kamen mir
auch leichte Zweifel ob deine Aussage
" f(x, y) = 0 für x = y = 0 "
stimmt. Es ist doch eher eine Definitionslücke
D = ℝ \ {  (x = 0) v (y = 0) }
vorhanden. Ist diese hebbar ? Nach einer
ersten Einschätzung nicht.
mfg Georg

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Das folgende ist wie eine Bedingte Funktionsdefinition zu lesen.

f(x, y) = 0 für x = y = 0 
f(x, y) = x·y/(x² + y²) für alle anderen werte

Ich Definiere also das f(x, y) = 0 ist wenn x und y gleich null sind. Normal ist das hinter einer geschweiften Klammern zu schreiben die ich hier nicht zur verfügung habe.

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Du hast die Antwort und Kommentare aber schon gelesen, Georg?

Mathecoach erwähnte bereits, dass die Frage nur Sinn macht, wenn man interessiert ist, ob man stetig ergänzen kann. Und genauso hat er sie beantwortet.

Deine Einschätzung wurde längst bestätigt.

Dein Definitionsbereich stimmt übrigens nicht. Es gibt nur ein Problem, wenn x = y = 0 ist.

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Ganz so ist es auch nicht: Vielmehr hat Mathecoach die Funktion ergänzt und gezeigt, dass die ergänzte Funktion an der ergänzten Stelle nicht stetig ist. Ob die ursprüngliche Funktion stetig ergänzbar ist oder nicht, wurde nicht untersucht.

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Richtig. Ich habe die Aufgabe so ergänzt wie sie oft gestellt wird. Zumindest die Wirtschaftsstudenten die ich betreue haben mit dieser Aufgabe jährlich zu tun.

Fleißige Schüler dürfen sich gerne die ähnliche Aufgabe ansehen die ich dazu verlinkt habe.

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@unknown

" Dein Definitionsbereich stimmt übrigens nicht.
Es gibt nur ein Problem, wenn x = y = 0 ist. "

Ist das nicht dasselbe wie

D = ℝ \ {  (x = 0) v (y = 0) }

... ohne  (x = 0) und (y = 0)
oder vielleicht noch genauer
... ohne ((x = 0) und (y = 0))

sonst müßte es doch heißen

... ohne (x = 0) oder (y = 0)

  mfg Georg

das v - Zeichen wurde im Sinne der Boolschen
Algebra verwendet. Wenn A und B .

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v = vel = oder (lateinisch)

So kann man sich vielleicht merken, was ∧ und ∨ bedeutet ;).

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@unknown
Ich  kenne v(el)  und  ( umgedrehtes v )  als boolsche
Operatoren  schon . Habe diese aber diesmal komplett
verwechselt.
mfg Georg
Zum Ausgleich etwas zur Erheiterung
Ein zum Tode Verurteilter wartet in der Kerkerzelle auf
seine Hinrichtung. Es ist Montagfrüh, die Zelle wird aufgesperrt, das
Urteil soll vollstreckt werden. Was ist sein Kommentar : Na, die Woche
fängt ja gut an.