Ist diese Funktion stetig? Bsp. g(x) = (x^3 - x·y^2)/(x^2 + y^2) für (x,y) ≠ (0,0) , sonst 0

Question

Aufgabe:

$$f : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},(x, y) \mapsto \left\{\begin{array}{cc}{\frac{x^{2}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}} & {\text { für }(x, y) \neq(0,0)} \\ {0} & {\text { für }(x, y)=(0,0)}\end{array}\right.$$

$$g : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},(x, y) \mapsto \left\{\begin{array}{cc}{\frac{x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}} & {\text { für }(x, y) \neq(0,0)} \\ {0} & {\text { für }(x, y)=(0,0)}\end{array}\right.$$

Sind diese Funktionen stetig?

Problem/Ansatz:

ich sitze gerade an dieser Aufgabe und bin leider bei der Stetigkeit in Analysis 1 nie so sicher.

Um zu zeigen, dass keine Stetigkeit vorliegt genügt es ja eine Folge zu finden, die gegen (0,0) konvergiert, aber selbst nicht (0,0) ist.

Wenn ich für f) die Folge $$\vec{x}_k = (\frac{1}{n})$$ wähle, dann würde ich, eingesetzt in f, 1 erhalten.

Wäre dies gültig?

g) Wäre meiner Meinung nach stetig, nur das zeigen fällt mir gerade schwer

Comments

Warum heisst g(x) = (x^3 - x·y^2)/(x^2 + y^2) in der Musterlösung h(x) ? 
Vgl. ganz ähnlich https://www.mathelounge.de/557166/stetigkeit-falls-sonst-folgenkriterium-oder-epsilon-zeigen

und ebenfalls ähnlich https://www.mathelounge.de/288104/stetigkeit-partiellen-ableitungen-funktion-differenzierbar

Answer 1

f(x) = (x^2 - x·y^2)/(x^2 + y^2)

Wir wählen für y = a*x

f(x) = (x^2 - x·(a·x)^2)/(x^2 + (a·x)^2) = (1 - a^2·x)/(a^2 + 1)

Der Grenzwert wenn x gegen 0 geht ist nicht immer 0. Daher ist die Funktion nicht stetig.

Comments

g(x) = (x^3 - x·y^2)/(x^2 + y^2)

Auch hier wählen wir y = ax

g(x) = (x^3 - x·(a·x)^2)/(x^2 + (a·x)^2) = x·(1 - a^2)/(a^2 + 1)

Hier ist der Grenzwert wenn x gegen 0 geht immer Null. Daher ist die Funktion stetig.

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was war an meinem Weg falsch?

Deine Art dies zu lösen habe ich vorher noch nicht gesehen. Ich dachte immer man bräuchte richtige Werte, denn a ist ja eine Variable. Außerdem war mir nicht bekannt, dass man es gegen 0 laufen lassen kann, ich dacht man müsse es per Umformung schaffen x und y verschwinden zu lassen

Zu g  gibt es sogar eine Musterlösung:

$$ \begin{aligned} \text { Sei }(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} . \text { Wegen } \\|h(x, y)-h(0,0)| &=\left|\frac{x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right| \leq \frac{\left|x^{3}\right|}{x^{2}+y^{2}}+\frac{\left|x y^{2}\right|}{x^{2}+y^{2}} \leq|x| \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}+|x| \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \\ & \leq|x|+|x| \rightarrow 0 \text { für }(x, y) \rightarrow(0,0) \\ \text { gilt } \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} h(x, y)=0=h(0,0) . \text { Also ist } h \text { überall stetig. } \end{aligned} $$

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Hier ist der Grenzwert wenn x gegen 0 geht immer Null. Daher ist die Funktion stetig.

Durchaus zweifelhafte Methode.

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Ich ziehe meine Antwort zurück. Die Funktion ist dann entlang einer Ursprungsgeraden stetig. Das muss aber tatsächlich nicht heißen das sie immer stetig ist.

Man kann damit also nur die Unstetigkeit zeigen. Hm. Ich hatte das wohl falsch in Erinnerung. Ich weiß nicht mehr ganz genau wofür wir im Studium das mit der Ursprungsgeraden genau gemacht hatten.

Da muss ich nochmal drüber nachdenken.

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Auch hier wählen wir y = ax

Die Nullfolgen  (x_n , ax_n)  erfassen nicht alle Folgen, die gegen (0,0) konvergieren.

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Das für g ist ja nicht so wichtig, wichtig für mich war, ob mein f stimmt:: Dies hast du allerdings anders gemacht, deshalb bin ich mir nun unsicher.

Hier die richtige Folfe, oben hat der y Wert gefehlt

$$\vec{x}_k = (\frac{1}{n},0)$$

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Könnte man es denn allgemeingültig mit Polarkoordinaten machen? Also

x = r * cos(a)

und

y = r * sin(a)

und zeigen das es für r → 0 dann gegen 0 konvergiert.

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@Slicer

Dies hast du allerdings anders gemacht, deshalb bin ich mir nun unsicher.

Mit der Nullfolge (x_n , y_n)  = (1/n ,1/n)  erhält man

lim_n→∞  f(1/n ,1/n)  = 1/2 ≠ 0

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@ Wolfgang, dass war ja auch das Ziel um die nicht Stetigkeit von f zu zeigen.

Obwohl ich dort eher auf 1 komme (1/n^2)/(1/n^2) = 1

$$\frac{x^{2}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} =>\frac{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n} 0^{2}}{\frac{1}{n^2}+0^{2}} = 1 $$

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Mein letzter Kommentar bezog sich auf dein seltsames $$\vec{x}_k = (\frac{1}{n})$$ Und wenn du  (1/n ,1/n)  einsetzt , ergibt die Umformung

((1/n)^2 - 1/n·(1/n)^2)/((1/n)^2 + (1/n)^2)

....  =  (n-1) / (2n)  =  n/(2n) - 1/(2n) = 1/2 - 1/(2n)  →_n→∞  1/2 ≠ 0 

Aber dein (xn , yn)  = (1/n , 0)   tut es als Gegenbeispiel natürlich auch und rechnet sich einfacher.

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Achso, dass stimmt natürlich. Leider hatte ich in meiner Folge oben einen Fehler, dort fehlte die 0 für y, sonst ist es ja auch keine Folge, für die Abbildung.

Jutti, Thema geklärt, ich wünsche euch allen noch eine ruhige Nacht.