Stetigkeit zeigen für Pfade auf f(x,y):= 2xy/(x^2+y^2) für (x,y)≠(0,0) resp. f(x,y):=0 sonst

Question

Zeigen Sie, dass....

$$ f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} {\frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}}} & {(x, y)^{T} \neq 0} \\ {0} & {\text { sonst }} \end{array}\right. $$
die Funktionen
$$ \begin{array}{l} {g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto f(x, a)} \\ {h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto f(b, x)} \end{array} $$
stetig für alle \( a, b \in \mathbb{R} \) sind, aber daraus nicht folgt, dass auch \( f \) selbst stetig ist.

Danke für eure Hilfe

Answer 1

g(x) = 2·x·a/(x^2 + a^2)

Für a > 0 ist die Funktion immer stetig. Also brauche ich nur für den Fall a = 0 untersuchen

lim (x --> 0) 2·x·0/(x^2 + 0^2)

= lim (x --> 0) 0/x^2 = 0


Genau so zeigt man es auch für h(x)


f(x, y) = 2·x·y/(x^2 + y^2)

Wir betrachten den Grenzwert x = y und x --> 0

lim (x = y --> 0) 2·x·y/(x^2 + y^2)

= lim (x = y --> 0) 2·x·x/(x^2 + x^2)

= lim (x = y --> 0) 2·x^2/(2x^2) = 1

Damit ist der Grenzwert ungleich dem Funktionswert.


g und h sind also stetig, f ist es hingegen nicht.