Stetigkeit von Funktionen prüfen

Question

ich habe eine Frage zur Stetigkeit von Funktionen.

$$f1:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$

$$f1(x)=$$\begin{cases}1-e^x& x \geq 0 \\ x^2 &  x < 0\end{cases}

$$f2(x)=$$\begin{cases}\frac{1}{|x|}& x \not = 0 \\ 0 &  x = 0\end{cases}

Also f1 ist stetig, weil wenn man einen Wert x1 immer näher an einem Wert x0 annähert, dann sind auch f(x1)=f(x0) je näher man sich annähert.

Aber bei f2 ist es schwierig. Hier habe ich ja die 1/x Funktion im 1. und 2. Quadranten und einen Punkt am Origin oder? Wie gehe ich da vor?

Gruß

Mr-Maths

Answer 1

Sei ε=1, δ>0, x₀=min(1/2, δ/2). Dann ist |f(0)-f(x₀)|=1/x₀>1=ε im Widerspruch zur Stetigkeit bei 0.

Comments

Wir haben das ohne dem Epsilon und Delta gemacht. Wie geht es ohne diese 2?

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Sei e=1, d>0, x₀=min(1/2, d/2). Dann ist |f(0)-f(x₀)|=1/x₀>1=e im Widerspruch zur Stetigkeit bei 0 :-)

Wie habt ihr denn Stetigkeit definiert?

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Großartig :D.           

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Wir haben das folgendermaßen definiert:

Sei X ein Intervall, $$f: X \rightarrow \mathbb{R}$$ eine Funktion und sei $$x_0 \in X$$. Dann heißt f stetig im Punkt $$x_0$$, wenn limes x->x0 f(x)=f(x0).

Also wenn f(x) nahe bei f(x0) liegt, wann immer x nahe bei x0 liegt.

So wurde das definiert. Könnt ihr mir das ohne dem Epsilon so erklären bitte?

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Wie habt ihr denn den Limes definiert?

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Was meinst du damit?
Das wurde so definiert: limes x->x0 f(x)=f(x0)

Also wenn sich x immer näher einen Punkt x0 annähern kann und die Funktionswerte auch dieselben sind, ist die Funktion stetig.

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Um Nachzuweisen, dass lim_x→0f₂(x) überhaupt existiert (weil nur dann kann der Grenzwert gleich dem Funktionswert sein), muss man auf die Definition des Grenzwertes zurückgreifen. Dererlei sind zwei gleichwertige geläufig. In beiden kommt ein ε vor, ein mal gepaart mit einem δ, das andere mal mit einem n₀.

Welche Definition habt ihr verwendet?

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Wie gesagt, wir haben bis jetzt nur folgendes aufgeschrieben:

"Sei X ein Intervall, f:X->R eine Funktion und x0 \in X. Dann heißt f stetig im Punkt x0, wenn lim(x->x0) f(x)=f(x0), also wenn f(x) nahe bei f(x0) liegt, wann immer x nahe bei x0 liegt. f heißt steig auf X, wenn f in jedem Punkt von X stetig ist."

Und anhand dieser "Definition" muss ich entscheiden, ob f1 oder f2(oben im Startpost) stetig ist.

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Ich erläre mal, wie "Sei ε=1, δ>0, x₀=min(1/2, δ/2). Dann ist |f(0)-f(x₀)|=1/x₀>1=ε" dahingehend zu interpretieren ist.

1. Mit "Sei ε=1" sage ich, wie nahe bei f(0) die Funktionswerte f(x) liegen sollen.
   
2. Mit "δ>0" versuche ich, herauszufinden, wie nahe x bei 0 liegen muss, damit f(x) nahe bei f(0) liegt.
3. Mit "x₀=min(1/2, δ/2)" wähle ich eine Zahl auf der x-Achse, die tatsächlich nahe bei 0 liegt.
4. Die Rechnung " |f(0)-f(x₀)|=1/x₀>1=ε" sagt dann aus, dass ich nicht so nahe an f(0) herankomme, wie ich ursprünglich wollte.

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Ja, aber kann ich das nicht ohne epsilon und delta irgendwie sagen? Wir haben das halt noch nicht so genau gemacht, also muss ich die Aufgaben ja nach meiner obigen "Definition" lösen bzw. das was wir bis jetzt gemacht haben.

Was meinst du?

Answer 2

1) Die einzige Möglichkeit, für eine Unstetigkeitsstelle ist der "Rand" der stückweisen Definitionsbereiche, da 

y=1, y= e^x und y = x^2 bekanntlich (?) stetige Funktionen sind. 

f1(0) = 1-1 = 0

lim_(x->0+) f1(x) = lim_(x->0+) x^2 = 0^2 = 0

Somit ist f1(x) stetig. 

Anmerkung. Erstaunt mich, dass du einen Homomorphiesatz kennst und hier noch nicht mit Epsilon und Delta arbeiten sollst.

f2 ist nicht stetig in x=0. 

lim_(x->0) 1/ |x| = + unendlich

f2(0) = 0.

unendlich ≠ 0 ==> nicht stetig. 

Comments

Ja, 1, e^x und x^2 sind stetige Funktionen, das ist klar.

Was hast du da jetzt genau gemacht? Warum hast du gesagt x=0 für 1-e^x und nicht für x^2?

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Die Grenzwerte müssen gleich dem Funktionswert sein. 

f1(0) ist direkt definiert. Den Grenzwert von links gegen 0 musst du daher nicht speziell ansehen. Einfach 0 einsetzen. 

Da x^2 stetig ist, kann nachher bei der Grenzwertberechnung von rechts auch einfach 0 eingesetzt werden. Du musst aber dort die lim... stehen haben. Ich ergänze noch ein + hinter der 0, damit "von rechts" klar ersichtlich ist. 

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Hm es ist mir jetzt schon klarer, jedoch ich habe dazu 2 Fragen:

1. Was genau meint man, wenn man sagt "Grenzwert von links" und "Grenzwert von rechts"?

2. Wenn ich f2(x) zeichnen müsste, wie schaut das dann aus? Ist das eine 1/x-funktion im 1. und 2. Quadranten und ein Punkt bei (0/0). Sollte dieser Punkt dann ein Kringel sein oder ein Punkt?

Answer 3

Hier schon einmal die Graphen.

Das f2 nicht stetig ist, x = 0 soll 0 sein, sieht man ja schon.

Ich habe bisher die Stetigkeit ohne delta epsilon nachgewiesen.
Diese kommt gleich.

Das du nach 1 Tag noch immer keine zufriedenstellende Antwort
bekommen hast spricht nicht gerade für das Einfühlungsvermögen der
Antwortgeber.
Motto : Warum einfach wenn es auch kompliziert geht.

Comments

Hier meine Nachweise



bei Fragen wieder melden.

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Ah ok danke, schon langsam wirds besser.

D.h. wenn ich von links komme, dann berechne ich den Grenzwert von x^2 in dem Fall, da laut Graph dieses ja links ist und bei 1-e^x ist es einfach rechts?

Aber warum muss man das so machen, was genau sagt das aus?

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Die hast eine geteilte Funktion und du hast die Nahtstelle.

Einfache Definition von Stetigkeit : die Funktion kann ohne
abzusetzen gezeichnet werden.
Etwas bessere Definition : für eine Nahtstelle
linker Funktionswert = Funktionswert = rechter Funktionswert
lim x −> 0(-) [ f ( x ) ] =  f ( x ) = lim −> 0(+) [ f ( x ) ]

Bei f1 habe ich ermittelt
0  = 0 = 0
Die Funktion ist somit stetig

Bei f2 heißt die Reihe
∞ ... 0 ... ∞
Die Funktion ist nicht stetig.

Auch bei nicht geteilten Funktionen gibt nicht stetige Funktionen
durch Lücken oder Polstellen.

Obiges ist sprachlich und mathematisch nicht ganz exakt formuliert.
Ich hoffe es bringt dich trozdem weiter.
Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

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Also bei f1 kann der Funktionswert x0 leicht ermitteln, da ja er für e^x-1 so definiert ist, richtig?

Zum linken funktionswert:

Warum nähert man da x0=0 an? Kann ich was anderes auch annähern?

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Stetigkeit kann man überprüfen

- für Funktionen insgesamt
Beispiel
f ( x ) = 1 / x
Die Funktion ist für 1 / 0 nichtdefiniert bzw. hat dort
eine Polstelle. Die Funktion ist nicht stetig
Die Funktion f ( x ) = x^2  ist stetig

- für bestimmte Stellen
Man kann fragen : ist f ( x ) an der Stelle x0 stetig.
x0 muss nicht 0 sein sondern kann auch 4 sein.

Die beiden Teilfunktion von f1 sind stetig.
Die einzige mögliche Unstetigkeitsstelle
wäre die Nahtstelle x = 0.

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Kurzes Beispiel:
f(x)=1/x und f:X->R(reelle Zahlen)

1/x befindet sich doch im 1. und 3. Quadranten, richtig? Die funktion f ist doch dann stetig, wenn f in jedem Punkt  von X stetig ist, richtig? Also ich wähle jeden Punkt x0 aus und nähere ihn mit x an und wenn f(x) = f(x0) dann ist, dann ist die Funktion an dem Punkt stetig.
Was ist jetzt, wenn ich X(den Definitionsbereich) so wähle, dass die Punkte an denen die Funktion gar nicht existiert nicht in X vorkommen? Also z.b. (0/0)?

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Es gibt unterschiedliche Ansichten
Einerseits : ich kann die Funktion f ( x ) = 1/ x gar nicht ohne
abzusetzen zeichnen.
Ein weiteres Beispiel wäre
f ( x ) = 4 / ( x - 2 )

Andererseits
Stelle ich vorher den Definitionsbereich fest
f ( x ) = 1 / x
Definitionsbereich : D = ℝ \ { 0 }
wäre die Funktion f ( x ) ist im angegebenen Definitionsbereichs stetig.

Für dein Beispiel f2 gilt jedoch
D = ℝ. Die Lücke bei x = 0 ist ja auch definiert.
Allerdings ist f2 nicht stetig.

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Danke, hast mir schon sehr geholfen bis jetzt, aber jetzt nur noch ein bisschen Feinschliff.

Und wie weiß ich, wann ich einen linken Grenzwert habe und einen rechten Grenzwertk? bei f1 z.B. hast du einmal + und - beim limes und bei f2 ist es +-. Liegt es bei f2 an der Symmetrie?

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Es gibt verschiedene Notationen bezüglich der Grenzwertseite

An den Zahlenstrahl gedacht  :
x ist die Stelle die untersucht werden soll

von links kommend verwende ich : x (-)
( einen kleinen Tick kleiner x )

von rechts kommend verwende ich : x (+)
( einen kleinen Tick größer x )

In Mathebüchern finden sich verschiedenste Schreibweisen
wie ( x > ) oder ( < x  ) usw.

Für f2 : die Schreibweise
lim x −> 0 ( ± )  heißt  in Worten :
Grenzwert oberhalb / unterhalb  bei 0

Das habe ich noch nirgendwo gesehen. Dies ist
mir spontan eingefallen. Grins.

Wie du schon richtig erkannt hast ist in der Funktion
| 0 + Δx | und | 0 - Δx | dasselbe.
Deshalb habe ich beide Fälle in einem Fall zusammengefaßt.
Besser für dich : nicht nachmachen.