Extremwerte und Wendepunkte

Question

Aufgabe Extremwerte und Wendepunkte:

Zu bestimmen sind die Extremstellen und die Wendepunkte der Funktion \( f(x)=\frac{x^{3}}{(x-1)^{2}} . \) Das geht nach dem üblichen Schema. Zuerst berechnet man die ersten drei Ableitungen der Funktion, und dann bestimmt man die Extremwerte und Wendepunkte. Die Ableitungen werden jeweils mit der Quotientenregel berechnet. Es gilt:

\( \begin{aligned} f^{\prime}(x) &=\frac{3 x^{2}(x-1)^{2}-2(x-1) x^{3}}{(x-1)^{4}}=\frac{3 x^{2}(x-1)-2 x^{3}}{(x-1)^{3}} \\ &=\frac{3 x^{3}-3 x^{2}-2 x^{3}}{(x-1)^{3}}=\frac{x^{3}-3 x^{2}}{(x-1)^{3}} \end{aligned} \)

Kann ich hier nicht soweit Ableiten das ich auf (3x²-2x³)/(x-1) komme? Weil x-1 kann ich doch überall herauskürzen.

Answer 1

Hi Fenguli,

das siehst Du richtig. (x-1) kann gekürzt werden. Das ist ein allgemein übliches Vorgehen. Wurde hier auch gemacht ;).

Grüße

Comments

aber ich kann doch drei mal (x-1) rauskürzen

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Wurde hier doch auch gemacht. Das was Du gelb eingezeichnet hast, fehlt im nächsten Schritt.

Entweder ganz, oder der Exponent ist um 1 minimiert ;).

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Fenguli, Deine Vorstellungen über das Kürzen sind falsch...

Answer 2

Es sollte vor dem Kürzen (x-1) ausgeklammert werden. Dann wird hoffentlich deutlich, dass hier richtig und vollständig gekürzt wurde. Im Nenner bleibt dann (x-1)^3 übrig.

Allgemein ist es so, dass beim Ableiten eines rationalen Terms mit der Quotientenregel immer so gekürzt werden kann, dass der Nennergrad lediglich um 1 größer wird.