Extremwerte / Wendepunkte von Kosinusfunktion ermitteln

Question

Aufgabe:

Extemwerte und Wendepunkte bestimmen von Funktion: g(x) = (-2) * cos (Pi/2 * x)

Problem/Ansatz:

Ich muss erst die Extremwerte herausfinden und danach geht´s mit den Wendepunkten weiter. Könnt ihr mir bitte helfen?

Was ich bisher schon herausgefunden habe:

g(x) = (-2) * cos (Pi/2 * x)

g'(x) = Pi * sin (Pi x / 2)

g''(x) = [Pi² * cos (Pi x / 2) ] / 2

g'''(x) = - [Pi³ * sin (Pi x / 2)] / 4

Meine ersten Berechnung wegen Extremwerte:

f'(x) = 0
notwendige Bedingung

Pi sin (Pi x / 2) = 0

sin (Pi x / 2) = 0

Nullstelle bei x = 1 v x = 3

also sin (Pi x / 2 ) = 1 v sin (Pi x / 2 ) = 3

Habe ich richtig gerechnet? Wie geht es jetzt weiter? Ich finde nicht heraus, wie ich jetzt die Werte ermitteln kann, also Hochpunkt oder Tiefpunkt. Könnt ihr mir da Tipps geben?

Answer 1

(1) Extremwerte

$$ g'(x) = \pi \sin\left( \frac{\pi}{2}x \right) $$ \( g'(x) \) wird Null bei \( x = 2n \text{ mit } n \in \mathbb{Z} \)

$$ g''(x) = \frac{\pi^2}{2} \cos\left( \frac{\pi}{2}x \right) $$ also $$ g''(2n) =  \frac{\pi^2}{2} \cos(n \pi) = \pm \frac{\pi^2}{2} $$

Also ist \( g''(2n) > 0 \) für \( n \in \mathbb{Z} \text{ gerade } \) und \( g''(2n) < 0 \) für \( n \in \mathbb{Z} \text{ unerade } \)

Also liegen bei \( x = 2n \) und \( n \) gerade ein Minimum vor und bei \( x = 2n \) und \( n \) ungerade ein Maximum vor.

(2) Wendestellen

Es gilt $$ g''(x) = 0  $$ für \( x = 2n+ 1 \text{ mit } n \in \mathbb{Z} \)

Weiter gilt $$ g'''(2n+1) = -\frac{\pi^3}{4} \sin\left( \frac{2n+1}{2} \pi \right) = -\frac{\pi^3}{4} (\pm1) \ne 0 $$

Also liegen Wendestellen vor.