Zeigen Sie, dass es eine Gerade g gibt, die in jeder der Ebenen Ea enthalten ist.

Question

Aufgabe:

Sei a ∈ R. Wir betrachten im R3 die Ebenenschar Ea mit
Ea : ax+2y+az=−a−4.
(a) Zeigen Sie, dass es eine Gerade g gibt, die in jeder der Ebenen Ea enthalten ist.
(b) Skizzieren Sie E0 und g aus (a) im R3

Problem/Ansatz:

Bei a) bin ich bereits gelandet bei g=k-2y-z-k

k ist dabei Parameter für x.

Kann das hinkommen? Und wie verpacke ich das alles dann in ein Koordinatensystem?

Answer 1

Das g=k-2y-z-k ist doch keine Geradengleichung für eine Gerade in R^3.

Nimm doch einfach zwei Ebenen und schneide sie, etwa Eo und E1

2y=−4 und  x+2y+z=−5

==>   y = -2   und  x - 4 + z = -5  also z = -1 - x .

Das wäre die Gerade mit

$$\vec{x}=\begin{pmatrix} t\\-2\\-1-t \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\-2\\-1 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix}$$

Zeige, dass die in allen Ebenen der Schar liegt, indem du

$$\begin{pmatrix} t\\-2\\-1-t \end{pmatrix}$$ in die Gleichung von Ea einsetzt.

Comments

Dann habe ich es nur blöd abgeschrieben. Diese Gerade habe ich auch raus. Und da kommt beim Einsetzen auch 0=0 raus.

Aber wie kann ich denn diese Gleichung skizzieren? Setze ich da für t einfach Werte ein?