Weisen Sie nach, dass alle Ebenen der Schar E: (t+1)*x + y + (t -1)*z+ 3+ t = 0 die Gerade s enthalten..

Question

Aufgabe:

x-Achse ist für die Richtung rechts und links.

y-Achse ist für die Richtung oben und unten.

z-Achse ist für die Richtung vorne und hinten.

Gegeben sind die beiden Ebenen F: x + z = -1

und G: x+ y- z+ 3 = 0

a) Zeigen Sie, dass die beiden Ebenen sich schneiden, und bestimmen Sie eine Gleichung ihrer Schnitgeraden s.

b) Weisen Sie nach, dass alle Ebenen der Schar E: (t+1)*x + y + (t -1)*z+ 3+ t = 0 die Gerade s enthalten.

c) Überprüfen Sie, ob die beiden Ebenen F und G Ebenen der Ebenenschar sind

Problem/Ansatz:

für a) habe ich s:x= (-1,-2,0)+ k* (-1,2,1) kann das stimmen?

Für b) und c) habe ich keine Idee, Können Sie bitte mir helfen?

Danke im Voraus

Answer 1

a) F: \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \)=-1

  G: \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} \)=-3

Da die Normalenvektoren nicht kollinear sind, schneiden sich die Ebenen in einer Geraden. Die Punkte A(0|-4|-1) und B(-1|-2|0) liegen in beiden Ebenen. Also ist die Gerade AB Schnittgerade von F und G.

AB hat die Gleichung \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} -1\\-2\\0 \end{pmatrix} \)+k·\( \begin{pmatrix} -1\\2\\1 \end{pmatrix} \).

Die Geradenschaar hat die Gleichung \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} t+1\\1\\t-1 \end{pmatrix} \)=-3-t. Setzt man die Gleichung von AB hier ein, erhält man eine wahre Aussage.

Comments

@Marori: das Bild zu Deiner Aufgabe

(klick drauf!)

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Vielen Dank für Ihre Antwort

Soll ich dann für x = (-1+k*-1)*(t+1) = -3 -t einsetzen?