Bestimmen Sie eine Ebenenschar Ha ,deren Ebenen jeweils eine Gerade der Schar ga enthalten und senkrecht auf E stehen.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Geradenschar ga:x = (4|-2|5) + r*(2+a|-1-2a|2-2a) sowie die Ebene E: 2x +2y -z= -1

a) Bestimmen Sie eine Ebenenschar H_a ,deren Ebenen jeweils eine Gerade der Schar ga enthalten und senkrecht auf E stehen.

b) Bestimmen Sie die Koordinaten derjenigen Punkte der Geraden g1, deren Abstand von der x-y-Ebene und der x-z-Ebene gleich groß sind.

Problem/Ansatz:

a) Bei der a) hätte ich jetzt den Normalenvektor von E als einen Richtungsvektor von Ha und den Richtungsvektor von ga als anderen genommen. Als ich das eingesetzt habe, war der Normalenvektor von Ha allerdings abhängig von a, was doch nicht geht, weil Ha kein Ebenenbüschel sein darf.

b) Da war ich mir unsicher, ob der Abstand immer nur orthogonal gemessen wird, sonst können es ja unendlich viele Punkte sein. Ansonsten: A(7|-5|5) und B(-3|5|5|) hab ich raus.

Comments

Ansonsten: A(7|-5|5) und B(-3|5|5|) hab ich raus

Deine Lösung für b) ist schon mal richtig.

Für diejenigen, die die Lösung nachvollziehen möchten: der Abstand zur x-y-Ebene beträgt 5 LE. Für r=1 erhält man den Punkt A(7|−5|5). Der Abstand zur x-z-Ebene muss dann ebenfalls 5 LE sein. Also y=5 setzen:

−2−3r=5 |+2 ⇔ −3r=7 |÷(−3) ⇔ r=−\( \frac{7}{3} \), eingesetzt in g₁ ergibt den Punkt B(−3|5|5)

Für a) hätte ich zunächst einmal den Ansatz

\(H_{a} \ :\ \vec{x}= \begin{pmatrix} 4\\-2\\5 \end{pmatrix}+r\ \cdot \begin{pmatrix} 2+a\\-1-2a\\2-2a \end{pmatrix}+s\ \cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \), bin mir aber gerade nicht ganz sicher, wie der zweite Richtungsvektor lauten könnte.

Dürfte ich fragen, woher diese Aufgabe stammt?

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Vielen Dank für Ihren Kommentar; die Aufgabe ist von einem Arbeitsblatt, daher kenne ich die genaue Herkunft nicht.

Schön, dass die b) richtig ist.

Zur a) : Ich hätte ebenfalls diesen Ansatz gewählt und dann den Normalenvektor von E als anderen Richtungsvektor. Dies geht allerdings nicht, da Ha kein Ebenenbüschel sein darf oder nicht?

Verstehen Sie denn das Vorgehen, was von fjf100 zur a) beschrieben wurde?

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Normalenvektor von E als anderen Richtungsvektor. Dies geht allerdings nicht, da Ha kein Ebenenbüschel sein darf oder nicht?

Da die Gerade ga in der Ebene Ha liegen soll und somit der erste Spannvektor den Parameter a enthält, wird der Normalenvektor von Ha immer abhängig von a sein. Daran liegts also nicht.

Da mir die Aufgabe aber bekannt vorkam, hab ich mich nach der Suche nach ihr in meinem Schulbuch (Bigalke) gemacht und sie tatsächlich dort gefunden. Im Lösungsbuch geben die (7|4|-5) als zweiten Spannvektor an. Wie die darauf kommen, weiß ich aber leider nicht.

Verstehen Sie denn das Vorgehen, was von fjf100 zur a) beschrieben wurde?

Verstehen tu ich es, anwenden würde ich es aber nicht, da es mir mit dem Parameter a im ersten Richtungsvektor zu viel Arbeit wäre.

Ich denke, ich hätte auch den Normalenvektor von E als zweiten Richtungsvektor gewählt. Ob es nun richtig oder falsch ist, müsstest du dann deinen Lehrer fragen

Answer 1

Bedingung,dass 2 Ebenen senkrecht aufeinander stehen

beide Normalenvektoren sind orthogonal (bilden einen 90° Winkel) zueinander

Dazu muß das Skalarprodukt a*b=ax*bx+ay*by+az*bz gleich NULL sein

also n1*n2=n1x*n2x+n1y*n2y+n1z*n2z=0

n1(2/2/-1)

Als Stützpunkt für die Geradenschar nehmen wir a(4/-2/5)

Vektorielle Parametergleichung der Ebene E: x=a+r*u+s*v

eine Gerade liegt ja in der Ebenenschar →
Ea: x=(4/-2/5)+r*[(2+a)/(-1-2*a)/(2-2*a)]+s*(vx/vy/vz)
aus u=[(2+a)/(-1-2*a)/(2-2*a)]
v(vx/vy/vz) ergibt sich dann n2(nx/ny/nz) über das Skalarprodukt
1) u*n2=...2) v*n2=vx*n2x+vy*n2y+vz*n2z=0
wir setzen n2z=1
Den Rest schaffst du wohl selber.Ist mir hierzu viel Rechnerei und das Risiko für Rechenfehler ist mir zu hoch und außerm bekomme ich die Arbeit nicht bezahlt.
Tipp: Rechne mal mit einefache Zahlen das duch
Ebene E1: 2*x+2*y-1*z+1=0Ebene E2: wählst du dann so,dass die beiden Normalenvektoren der Ebenen senkrecht aufeinander stehen.
b)
Hier müssen die beiden Beträge der Normalenvektoren der beiden Ebenen gleich sein
Abstand Punkt-Ebene → d=|(p-a)*no|p(px(py/pz) ist der Gesuchte Punkt P(px/py/pz)  und a(ax/ay/az)  Stützpunkt der Ebene
no(nox/noy/noz) der Normaleneinheitsvektor der Ebene Betrag |no|=Wurzel(nox²+noy²+noz²)=1

Comments

Vielen Dank ersteinmal für die Antwort!

Allerdings habe ich noch nicht verstanden, warum sich n2 aus dem Skalarprodukt ergibt. Ihr Ansatz ist doch auch der, den ich gewählt habe oder nicht?

Die b) habe ich überhaupt nicht verstanden; P muss ich ausrechnen, also kann ich die Formel doch gar nicht benutzen.

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Die Aufgaben der Analytischen Geometrie sind nicht besonders schwer,aber es ist halt viel Rechnerei.

Ich habe keine Lust auf so viel Arbeit und das ohne Bezahlung.

Mein Ansatz muß hier ausreuichen.