Gerade die in allen Ebenen der Schar liegt

Question

Ich soll in einer Aufgabe eine Gerade, die in allen Ebenen der Schar liegt, die lautet:

Ea: ax1-2x2+(a+1)x3+a=0


Hab mir überlegt, dass die Gerade ja immer Senkrecht zum jeweiligen Normalenvektor liegen muss, oder?

Normalenvektor: (a;-2;a+1), der Vektor (-2;-a;0) ist senkrecht zum Normalenvektor.
Damit hätte ich ja schonmal den Richtungsvektor der Geraden, oder?


Wie bekomm ich jetzt den Aufhängepunkt der Geraden raus? Kann ich da einfach für x1 den Wert 1 und für x2 den Wert 2 festlegen, diese dann in die Ebenengleichung einsetzen und x3 in Abhängigkeit von a ausrechnen?


Würde mich über Hilfe freuen.

Answer 1

Du könntest auch einfach die Schnittgerade von 2 dieser Ebenen berechnen.

Ea: ax1-2x2+(a+1)x3+a=0

Dazu einfach mal für a 2 Werte einsetzen

E0: -2x2+x3=0

E1: x1-2x2+2x3+1=0

Nun 2 beliebige Punkte.

1. Punkt: x2=1

 

E0: -2+x3=0        -----> x3 = 2

E1: x1-2+2*2+1=0

x1 = 2-4-1 = -3

P(1,2,-3)

 

2. Punkt: x2=2

E0: -4+x3=0        -----> x3 = 4

E1: x1-2*2+2*4+1=0

x1 = 4-8-1 = -5

P(2,4,-5)

Eine Parametergleichung der Schnittgeraden

g: r = (1,2,-3) + t (1,2,-2)

Kontrolliere dieses Resultat noch irgendwie. 

Comments

Liegt die Schnittgerade denn in ALLEN Ebenen?
Ist meine Lösung auch richtig? Denn rein vom Überlegen her fällt mir nichts falsches auf.

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r = (1,2,-3) + t (1,2,-2)

Setze x1=1+t

x2 = 2+2t

und x3 = -3 -2t 

in die Gleichung

Ea: ax1-2x2+(a+1)x3+a=0

ein.

Wenn du 0=0 bekommst ist diese Gerade richtig.
Bei deiner Lösung fehlt ja noch der Stützpunkt. Darum ist die schwer prüfbar.

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Als Stützpunkt hab ich einfach die Koordinaten so gewählt, dass sie die Ebenengleichung in Abhängigkeit von a erfüllen.
Also ich hab gesagt, dass x1=1 und x2=2 ist, diese Werte in die Ebenengleichung eingesetzt und x3 in Abhängigkeit von a ausgerechnet. Ergebniss: x3= -(2a+4)/(a+1).
Als Stützpunkt hab ich dann also (1;2;-(2a+4)/(a+1)). Wobei a ungleich 1 ist.

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a ist natürlich ungleich -1.