Berechnung Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte! Bsp: f(x) = 0,25x^4 - 3,25x² + x - 3

Question

Gegeben ist die Funktion f(x) = x³ - 6x² + 12x -8.

2.1 Ermitteln Sie die Nullstellen.
2.2 Ermitteln Sie die Extremwerte.
2.3 Ermitteln Sie die Wendepunkte.

2.2 Beschreiben Sie das Krümmungsverhalten der Funktion!
2.3 Untersuchen Sie die Funktion auf Symmetrie!
2.4 Skizzieren Sie den Grafen der Funktion!

Gegeben ist die Funktion f(x) = 0,25x^4 - 3,25x² + x - 3

3.1 Ermitteln Sie die Nullstellen.
3.2 Ermitteln Sie die Extremwerte.
3.3 Ermitteln Sie die Wendepunkte.

3.2 Beschreiben Sie das Krümmungsverhalten der Funktion!
3.3 Untersuchen Sie die Funktion auf Symmetrie!
3.4 Skizzieren Sie den Grafen der Funktion!

Answer 1

2.1.1 Zu lösen ist die GLeichung

0 = x³ - 6x² + 12x - 8

Eine Lösung findet man leicht durch Raten: x = 2

Also führt man eine Polynomdiskussion durch:

(x³ - 6x² + 12x - 8) / (x-2) = x² - 4x + 4
 x³ - 2x²
      -4x² + 12x
      -4x² + 8x
                 4x - 8
                 4x - 8
                        0

Gesucht sind also weitere Lösungen von

0 = x² - 4x + 4 = (x-2)²

Also gibt es außer x=2 keine weiteren Lösungen.

2.1.2 Zunächst bestimmt man die erste Ableitung:

f'(x) = 3x² - 12x + 12

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt lautet

f'(x) = 0
0 = 3x² - 12x + 12
0 = x² - 4x + 4
0 = (x-2)²

Die einzige kritische Stelle für einen Extrempunkt ist also x=2.

Zu prüfen ist nun f''(2): f''(x) = 6x - 12
Also gilt f''(2) = 0, was keine Entscheidung über das tatsächliche Vorliegen eines Extrempunkts zulässt.

Wegen f'''(2) = 6 liegt aber kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt vor!

2.1.3 Dieser Punkt ist gleichzeitig der einzige Wendepunkt von f.

2.2 Für x<2 gilt f''(x)<0, also ist die Funktion dort rechtsgekrümmt. Für x>2 gilt f''(x)>0, also ist die Funktion dort linksgekrümmt.

2.3 Wegen f(x) = (x-2)³ ist die Funktion punktsymmetrisch bei Spiegelung am Punkt (2, 0).

2.4

 

Willst du es mit dieser Aufgabe als Beispiel vielleicht für die andere Aufgabe selbst versuchen?

Answer 2

Hi,

Aufgabe 2:

Beginnen wir mit den Ableitungen:

f(x)=x³ - 6x² + 12x -8

f'(x)=3x²-12x+12

f''(x)=6x-12

f'''(x)=6

 

2.1 Nullstellen:

f(x)=0

Polynomdivision mit (x-2) -> Es wird ein Binom erkennbar: (x-2)²

Also (x-2)³.

Dreifache Nullstelle bei x=2.

 

2.2 Extremwerte

f'(x)=0 und f''(x)=0

pq-Formel oder Mitternachtsformel (oder Binom erkennen):

-> f'(x)=0 für x=2, aber f''(2)=0

-> Keine Extremwerte

 

2.3 Wendepunkte

f''(x)=0 und f'''(x)=0

Für x=2 ein Wendepunkt. Da f'(2)=0 sogar Sattelpunkt:

W(2|0)

 

2.4 Krümmungsverhalten

Bei Wendepunkt Änderung des Verhaltens.

Für f''<0 Rechtskrümmung

für f''>0 Linkskrümmung

Also für (∞,2) -> Rechtskrümmung

(2,∞) -> Linkskrümmung

 

2.5 Symmetrie

Keine Achsensymmetrie oder Ursprungs-Punktsymmetrie.

(Punktsymmetrie zur Nullstelle)

 

2.6 Graph

 

 

Comments

Gleiches Vorgehen für den zweiten Teil:

f(x)=0,25x⁴ - 3,25x² + x - 3

f'(x)=x³-6,5x+1

f''(x)=3x²-6,5

f'''(x)=6x

 

3.1 Nullstellen

x₁=-3,85 und x₂=3,58

3.2 Extremwerte

T₁(-2,62|-16,15), T₂(2,47|-11,05) und H(0,15|-2.92)

3.3 Wendepunkte

W₁(-1,47|-10,34) und W₂(1,47|-7,40)

3.2 Krümmungsverhalten

Zwischen den Wendepunkten -> Rechtskrümmung

Sonst -> Linkskrümmung

3.3 Symmetrie

Keine erkennbare Symmetrie

3.4 Graph

 

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Mein Problem bei dieser Aufgabe liegt bei der Funktion 4. Grades. Wie komme ich da auf die ersten Nullstellen? Muss ich beide erst mit dem Honerschema erraten?

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Hornerschema oder Polynomdivision werden Dir hier nicht helfen.

Newton oder ein anderes Näherungsverfahren sind hier wohl gefordert.