Bestimmen von Nullstellen, relativen Extremwerten und Wendepunkte einer Funktion

Question

Bestimmen Sie Nullstellen, relativen Extrempunkte und Wendepunkte der Funktion:

$$f ( x ) = \frac { - 5 x ^ { 2 } + 5 } { x ^ { 3 } }$$

Answer 1

Nullstellen

f(x) = 0
⇔ (-5x² +5)/(x³) = 0
⇔ -5x² +5 = 0
⇔ 5 = 5x²
⇔ 1 = x²
⇔ x = -1     ∨    x=1

N₁ (-1Ι 0)
N₂ (1Ι0)

Nullstellen:
1.Schritt:
Funktion gleich 0 setzen, wenn keine Lösung vorhanden ist, gibt es auch keine Nullstellen

2.Schritt:
Lösung = x-Wert
0 = y-Wert
-> N₁ (x₁ Ι 0)

Extrempunkte:
1.Schritt:
erste Ableitung gleich 0 setzen und ausrechnen
wenn es keine Lösung gibt, gibt es auch keine Extrempunkte

2.Schritt:
Lösung aus Schritt 1 in die zweite Ableitung einsetzen
ist das Ergebnis größer 0, handelt es sich um einen Tiefpunkt
ist das Ergebnis kleiner 0, handelt es sich um einen Hochpunkt
istdas Ergebnis gleich 0, handelt es sich um einen Sattelpunkt

3.Schritt:
Lösung aus Schritt 1 (x-Wert) in die Ausgangsfunktion( f(x) ) einsetzen,um den y-Wert zu erhalten

Wendepunkte:
1.Schritt:
zweite Ableitung gleich 0 setzen und ausrechnen
wenn es keine Lösung gibt, gibt es auch keine Wendepunkte

2.Schritt:
Lösung aus Schritt 1 in die dritte Ableitung einsetzen
Das Ergebnis muss ungleich 0 sein

3.Schritt:
Lösung aus Schritt 1 (x-Wert) in die Ausgangsfunktion( f(x) ) einsetzen,um den y-Wert zu erhalten