Ganzrationale Funktion 4. grades mit Nullstellen und 2 Punkten aufstellen

Question

Die Aufgabe lautet:

Eine ganzrationale Funktion vierten Grades hat bei x₁= -1 eine doppelte und bei x₂=0 eine einfache Nullstelle. Der Graph der Funktion geht durch die Punkte (1/-4) und (-2/14). Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. 

Warum kann die Funktion nicht achsensymmetrisch zur y- Achse sein? Geben Sie eine kurze Begründung! 

 

Mein Ansatz wäre jetzt gewesen:

aufgrund der Nullstellen Linearfaktoren aufstellen 

f(x)= x(x+1)²

Dann weiß ich aber überhaupt nicht weiter, könnt ihr mir da helfen ? 

Answer 1

Warum kann die Funktion nicht achsensymmetrisch zur y- Achse sein? Geben Sie eine kurze Begründung! 

Dann durfte 0 keine einfache Nullstelle sein, weil das bedeutet das der Graph die x-Achse schneidet. 

 

Eine ganzrationale Funktion vierten Grades hat bei x₁= -1 eine doppelte und bei x₂=0 eine einfache Nullstelle. Der Graph der Funktion geht durch die Punkte (1/-4) und (-2/14). Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. 

f(x) = a·x^4 + b·x^3 + c·x^2 + d·x + e

f(-1) = 0
f'(-1) = 0
f(0) = 0
f(1) = -4
f(-2) = 14

a - b + c - d + e = 0
- 4·a + 3·b - 2·c + d = 0
e = 0
a + b + c + d + e = -4
16·a - 8·b + 4·c - 2·d + e = 14

Wir lösen das LGS und erhalten

a = 2 ∧ b = 1 ∧ c = -4 ∧ d = -3 ∧ e = 0

Bitte Rechnung alleine durchführen.

Comments

Du kannst sie auch in Linearfaktoren aufstellen. Dann sollte sie aber vermutlich wie folgt  lauten

f(x) = a·x·(x + 1)^2·(x + b)

Answer 2

Hi,

Ja, das ist ein guter Ansatz.

Führe ihn noch weiter aus, in dem Du zwei Parameter einführst.

 

Allgemeiner Ansatz unter Berücksichtigung der bereits genutzten Nullstellen:

f(x)= a*x(x+1)²(x-b)

Nun Deine beiden Punkte einsetzen und lösen.

Du kommst auf

a = 2 und b = 3/2

 

Ausmultipliziert (falls gewünscht) ergibt sich:

f(x) = 2x^4 + x^3 - 4x^2 - 3x

 

Für die Achsensymmetrie: Da müsste es bei x = 1ebenfalls eine doppelte Nullstelle geben. Das geht nicht, das wären insgesamt 5 Nullstellen, dürfen aber nur max. 4 sein ;).

 

Grüße