Notwendige - Hinreichende Bedingungen im Haus der Vierecke. Beispiele finden.

Question

Notwendig und hinreichend: Ein Quadrat ist 4-fach achsensymmetrisch.

Nicht notwendig aber hinreichend: Ein Rechteck hat 4 gleich große Winkel.

Notwendig aber nicht hinreichend: Eine Raute hat 2 gleich große Winkel.

Weder notwendig noch hinreichend: Die Winkel eines Vierecks müssen immer 90° haben.

Ich zerbreche mir nun seit Stunden den Kopf, vielleicht kann mir jemand von euch weiter helfen.

Ich hab vor mir das "Haus der Vierecke" liegen und versuche dazu notwendige und hinreichende Aussagen zu finden. Allerdings bin ich mir nicht sicher ob diese richtig sind:

Comments

Nicht notwendig aber hinreichend: Ein Rechteck hat 4 gleich große Winkel.

Das will mir nicht einleuchten!

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Okay, wie muss ea deiner Meinung dann lauten (Begründung)? Und sind die anderen drei Aussagen korrekt? Danke :-)

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Ich habe es gerade nur überflogen und bin bei der zietierten Aussage hängengeblieben. Allgemein ist es so, das die notwendigen Aussagen diejenigen Eigenschaften sind, die aus der Art des Vierecks gefolgert werden können.

Notwendig wäre also zum Beispiel für ein Quadrat: Ein Winkel ist 90° groß. Offenbar ist das nicht hinreichend für ein Quadrat.

Hinreichend sind solche Eigenschaften, aus denen die Art des Vierecks gefolgert werden kann. Sind etwa alle Winkel des Vierecks gleich groß, so muss es ein Rechteck sein.

Im übrigen halte ich das für eine sehr interessante Fragestellung!

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Ein Rechteck hat 4 gleich große winkel ist auch nicht hinreichend.

Ein Rechteck ist ein Viereck mit 4 gleich großen Winkeln. Wenn man aber annimmt das es bei den aussagen eh nur um vierecke handelt dann wäre es hinreichend.

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Ja, davon gehen wir aus, denn sonst wäre auch die allerste Eigenschaft, die vierfache Achsensymmetrie, nicht hinreichend für ein Quadrat. Wir beschäftigen uns also mit Vierecken, vermutlich auch nur mit ebenen und konvexen Vierecken.

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Ich bin verwirrt

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Notwendig und hinreichend: Ein Quadrat ist 4-fach achsensymmetrisch. Notwendig, denn wäre es nur zweifach achsensymmetrisch, dann könnte es auch ein Rechteck sein.... Hinreichend weil ein 4fach symmetrisches viereck eben ein quadrat ergibt.... richtig?

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Warum?

Such Dir eine Vierecksart aus dem Haus der Vierecke aus. Alle Eigenschaften, die diese Vierecksart nun aufweist, sind notwendig.

Zusammenstellungen von typischen Viereckseigenschaften, deren gleichzeitiges Vorhandensein an einem Viereck auf eine bestimmte Vierecksart schließen lassen, sind hinreichend.

Dazu lassen sich nun etliche Dutzend Beispiele finden.

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Was verwirrt dich ?

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Notwendig und hinreichend: Ein Quadrat ist 4-fach achsensymmetrisch. Notwendig, denn wäre es nur zweifach achsensymmetrisch, dann könnte es auch ein Rechteck sein.... Hinreichend weil ein 4fach symmetrisches viereck eben ein quadrat ergibt.... richtig?

Ja, die vier Symmetrieachsen sind notwendig und hinreichen für ein Quadrat. Das heißt, ein Viereck ist genau dann ein Quadrat, wenn es vier Symmetrieachsen aufweist.

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Wäre es möglich, jede Aussage nochmal einzeln durchzugehen? Und diese zu begründen? ..

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Nicht notwendig aber hinreichend: Ein Rechteck hat 4 gleich große Winkel.  Vielleicht ist das doch notwendig? Denn bei 4 gleichgroßen winkeln ist wegen winkelsumme 360grad jeder winkel 90grad u so hat man ein rechteck. Also auf jeden fall hinreichend und notwendig denn waere nicht alle vier gleich groß so koennte es auch eine andere art von viereck sein. Oder versteh ich das falsch?

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Notwendig aber nicht hinreichend: Eine Raute hat 2 gleich große Winkel.

Notwendig, da die gegenüberliegenden Winkel gleichgroß sein müssen. Nicht hinreichend, da selbst wenn dies eintrifft, das andere Winkelpaar nicht gleichgroß sein muss und somit hat man keine Raute. Selbst wenn das andere Winkelpaar gleichgroß sein sollte könnte man auch ein Parallelogramm erhalten... Richtig?

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Weder notwendig noch hinreichen: Die Winkel eines Vierecks müssen immer 90° haben.

Notwendig auf keinem Fall, denn ein beliebiges Viereck muss keinen 90° Winkel haben. Aber vll ist es dennoch hinreichend... denn hat man vier 90° Winkel erhält man ein Quadrat oder Rechteck und somit ein Viereck...


Könnt ihr meine Begründungen der Aussagen nochmal prüfen und mich korrigieren?


Danke euch allen

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Nicht notwendig aber hinreichend: Ein Rechteck hat 4 gleich große Winkel.

Ein Rechteck hat immer vier gleiche Winkel (notwendig) und
ein Viereck mit vier gleichen Winkeln ist immer ein Rechteck (hinreichend).

Richtig wäre also:
Vier gleiche Winkel sind notwendig und hinreichend für ein Rechteck.

Weiter gilt:
Vier rechte Winkel sind notwendig und hinreichend für ein Rechteck.
Drei rechte Winkel sind notwendig und hinreichend für ein Rechteck.
Drei gleiche und ein rechter Winkel sind notwendig und hinreichend für ein Rechteck.
...

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Okay, danke. Und die anderen Aussagen?

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Wenn es Wochenende ist oder die Sonne scheint fahre ich an die Ostsee.

Nicht notwendig aber hinreichend damit ich an die Ostsee fahre ist es das Wochenende ist.

In dem Fall gibt es auch eine andere Bedingung die mir erlaubt an die Ostsee zu fahren

 

Notwendig und hinreichend: Ein Rechteck hat 4 gleich große Winkel

Kann ich trotzdem ein Rechteck haben obwohl ich keine 4 gleich großen Winkel habe? Nein das geht nicht. Also wäre das für mich auch etwas was notwendiger weise erfüllt sein muss. Hinreichend ist es auch, denn immer wenn ich 4 gleich große Winkel habe handelt es sich um ein Rechteck.

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Notwendig aber nicht hinreichend: Eine Raute hat 2 gleich große Winkel.

Ja:
Zwei gleiche Winkel sind notwendig, aber nicht hinreichend für eine Raute.
Vier gleichlange Seiten sind notwendig und hinreichend für eine Raute.
...

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Kann es im Haus der Vierecke etwas geben in der Art

Nicht Notwendig aber hinreichend ?

Ich denke nicht oder? Zumindest komme ich nicht drauf. Alles was hinreichend ist ist auch notwendig oder nicht?

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Hat sich geklärt. Mir ist eingefallen das es doch geht.

Answer 1

Z.B.

Ein Quadrat hat 4 gleich lange Seiten.

Eine Raute hat 4 Winkel, wobei gegenüberliegende Winkel gleich groß sind.

Aber was ist das jetzt?

Ist es Notwendig oder hinreichend oder gar nichts von beidem.

Comments

Ich verstehe nicht ganz was du mit dem Beispiel ausaagen möchtest...

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Damit will ich sagen, dass du dir überlegen sollst ob es:

Notwendig und hinreichend
Notwendig aber nicht hinreichend
Nicht notwendig aber hinreichend
Weder notwendig noch hinreichend 

ist.

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Ein Quadrat hat 4 gleich lange Seiten.

Ist auf jedem Fall notwendig, da in einem Quadrat alle Seiten gleich lang sind. Aber nicht hinreichend, denn eine Raute hätte ebenfalls vier gleich lange Seiten... D.h. es müsste noch erfüllt sein, dass alle Winkel gleich groß sind zum Beispiel...


Eine Raute hat 4 Winkel, wobei gegenüberliegende Winkel gleich groß sind.

Ist notwendig aber nicht hinreichend (z.B beim drachenviereck wäre dies auch erfüllt)


Versteh ich es richtig?

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Sind bei einem Drachenviereck gegenüber liegende Winkel immer gleich groß.

Eventuell mal ein Drachenviereck aufmalen und schauen.

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Paarweise nicht

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paarweise bedeutet eigentlich das jedes beliebige paar eine bedingung erüllen muss.

Also
A sei ein Viereck mit paarweise verschieden langen Seiten.

Das bedeutet das es keine 2 Seiten gibt die die gleiche länge haben. Dabei ist es aber egal ob die Seiten aneiander oder gegenüberliegen.

So habe ich das zumindest in Erinnerung.

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Weder notwendig noch hinreichend: Die Winkel eines Vierecks müssen immer 90° haben.


Dann bitte nochmal zu dieser Aussage.

Wenn die Winkel gleich 90° sind, dann hab ich doch automatisch ein Viereck, sogar ein besonderes (Rechteck oder Quadrat. Also ist die Aussage hinreichend.

Da man aber von einem beliebigen Viereck spricht, sind die 90° Winkel nicht notwendig.


Also dann eher nicht notwendig aber hinreichend... oder?

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Das ist kompliziert

Dieser Satz beinhaltet ja eigentlich 2 Aussagen.

1. "Wenn alle Winkel 90 Grad sind haben wir ein Viereck" aber auch

2. "Wenn nicht alle Winkel 90 Grad sind haben wir kein Viereck"

alle winkel sind 90 grad wäre hinreichen für ein viereck allerdings nicht notwendig.

nicht alle sind 90 grad ist aber weder notwendig noch hinreichend dafür das ich kein viereck habe.

Oh weh. Jetzt steig ich da selber bald nicht mehr durch.