Diese Funktion soll nur eine Nullstellen haben: f(x):= x³-3x²+6

Question

Wieso hat diese Funktion nur eine Nullstelle ?

0= x³-3x²+6

Kann ich dafür die Polynomdivision anweden ??

Kann mir jemand helfen, wie kann ich beweisen, dass die Funktion nur eine NST hat ??

Answer 1

Diese Funktion hat mindestens eine Nullstelle. Falls sie monoton ist, oder ihre Extremwerte das gleiche Vorzeichen haben, hat sie genau eine Nullstelle.

Comments

Wie meinst du das falls sie monoton ist, oder ihre Extremwerte das gleiche Vorzeichen haben, hat sie genau eine Nullstelle.

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@hh91

Zu deiner Antwort

 

Die Skizze A zeigt eine monoton fallende Funktion ohne Nullstelle

Die Skizze B zeigt eine Funktion mit 2 Extrempunkten
( Funktionswert mit gleichem Vorzeichen ) welche auch keine Nullstelle hat.

Das ist ein bißchen ein Widerspruch zu deiner Aussage.

mfg Georg

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Die Antwort von hh91 setzt voraus, dass es sich um ein Polynom 3. Grades handelt, was der Fragesteller in der Frage bereits bemerkt hat. Mehr dazu vgl. Bepprichs Antwort.

Answer 2

  für meine Antwort ist die Kenntnis der Differentialrechnung
notwendig. Eine einfachere Beantwortung kenne ich nicht.

f ( x ) = x^3 - 3 * x^2 + 6
f ´( x ) = 3 * x^2  - 6 * x
f ´´( x ) = 6 * x - 6
Punkte mit waagerechter Tangente
1.Ableitung = 0
3 * x^2 - 6 * x = 0  | mit pq-Formel oder quadratischer Ergänzung lösen
x = 0
x = 2
Koordinaten bestimmen
f ( 0 ) =  0^3 - 3 * 0^2 + 6 = 6
f ( 2 ) = 2
P1 ( 0 | 6 )
P2 ( 2 | 2 )
Hoch- oder Tiefpunkt
f ´´ ( 0 ) = 6 * 0 - 6 = -6 ( Hochpunkt )
f ´´ ( 2 ) = 6 * 2 - 6 = 6 ( Tiefpunkt )
P1 ( 0 | 6 ) Hochpunkt
P2 ( 2 | 2 ) Tiefpunkt
Verhalten im Unendlichen
lim x -> -∞ [  f ( x ) ] = -∞
lim x -> +∞ [  f ( x ) ] = +∞
Die Funktion kommt von -∞ und geht nach
P1 ( 0 | 6 ) Hochpunkt
fällt dann auf
P2 ( 2 | 2 ) Tiefpunkt
und geht dann nach +∞
Die Funktion hat eine Nullstelle zwischen
- ∞ und P1 und verbleibt dann stets
oberhalb der x-Achse im positivem Bereich.

Die Funktion hat nur eine Nullstelle.

Laß dir die Funktion mit einem Funktionsplotter einmal
zeichnen. z.B. oben rechts auf dieser Seite.

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

Answer 3

Zunächst untersucht man die Funktion auf Extrema und nach dem Verhalten im Unendlichen.

Man kann zeigen, dass die Funktion ein Maximum bei (0|6) und ein Minimum bei (2|2) hat. Zudem geht die Funktion für x -> -oo gegen - oo und für x -> oo gegen oo.

Da bei (2|2) ein Minimum vorliegt (oberhalb der x-Achse) und die Funktion für wachsende x-Werte gegen oo geht, kann keine Nullstelle im Intervall [2, oo) existieren.

Da bei (0|6) ein Maximum vorliegt und dieses über dem Minimum bei  (2|2) liegt, kann ebenfalls keine Nullstelle im Intervall [0, 2] vorliegen.

Da keine weiteren Maxima oder Minima existieren, und die Funktion vom Maximum für x-> -oo gegen - oo geht, muss der Graph von f genau 1 mal die x-Achse im Intervall (0, -oo) schneiden.

Answer 4

Der folgende Ansatz kommt ohne Ableitungen aus. Die Funktion \(f(x)=x^3-3x^2+6\) hat genau dann genau eine reelle Nullstelle, wenn die Funktion \(g(x):=f(x+1)=x^3-3x+4\) genau eine reelle Nullstelle hat.
Eine Funktion der Form \(h(x)=x^3+px+q\) mit reellen \(p\) und \(q\) hat genau eine reelle Nullstelle, wenn gilt$$D:=\left(\frac q2\right)^2+\left(\frac p3\right)^3>0.$$Für \(g\) ist \(D=3>0\). Also hat \(g\) und damit auch \(f\) genau eine reelle Nullstelle.