Bei "x³ = 8a" nur eine Nullstelle?

Question

warum hat x³ = 8a nur eine einfache Nullstelle ? Ist das generell so wenn man die dritte Wurzel zieht? Bei x² bekommt man doch zwei Nullstellen.

Answer 1

x^2 = 4 --> x = ±2

Hier gibt es 2 Lösungen, weil sowohl -2 als auch +2 quadriert 4 ergeben.

x^3 = 8 ---> x = 2

Hier gibt es nur eine reelle Lösung weil nur 2^3 = 8 ist.

Dafür könnte man auch sagen

x^3 = -8 ---> x = -2

Das geht bei der quadratischen Wurzel nicht.

Answer 2

$$^3 \, \sqrt {8}$$ bzw. $$^3 \, \sqrt {-8}$$

hat drei Nullstellen - nur sind zwei davon konjugiert komplex und daher für den Durchschnitts-Schüler "unsichtbar".

Bei Quadratwurzeln positiver Argumente entsteht kein imaginärer Teil, daher "sieht" man auch ohne Kenntnis des Zahlenraumes der komplexen Zahlen die zwei Lösungen.