Die Newtonsche Gleichung für eine Masse an einer Feder, die auf einem Tisch rutscht, lautet:
\( m \frac{d^{2} x(t)}{d t^{2}}=-r \frac{d x(t)}{d t}-k x(t) \)
Die Zahien \( m, r, k \) bedeuten Masse, Reibungskoeffizient, und Federkonstante. \( m \) und \( k \). sind positiv, \( \mathrm{r} \) ist positiv oder Null.
Die Newtonsche Gleichung kann in ein Differentalgleichungssystem erster Ordnung umgeschrieben werden, indem man definert:
\( \vec{y}(t)=\left[\begin{array}{l}y_{1}(t) \\ y_{2}(t)\end{array}\right] *\left[\begin{array}{c}x(t) \\ \frac{1}{w} \frac{d x(t)}{d t}\end{array}\right] \)
(\( \omega \) ist eine geeignet gewählte positive Zahl):
\( \frac{d \dot{j}(t)}{d t}=T(\omega, f) \vec{y}(t) \quad \text { mit } \quad T(\omega, f)=\left[\begin{array}{cc} 0 & \omega \\ -\omega & -f \end{array}\right] \)
Dies wird hier gezeigt:
Die Aufgabe besteht darin, den Zusammenhang zwischen Nullstellen des charakteristischen Polynoms in \( \mathbb{C} \) von \( \mathbb{T} \) und den reellen Lösungen der Newtonschen Differentialgleichung zu diskutieren.
a) Berechnen Sie das charakteristiache Polynom \( p_{T}(z) \).
b) Wählen Sie \( \omega, f \) an, dass \( p_{i}(z) \) zwei komplex konjugierte Nullstellen hat.
c) Wählen Sie \( \omega, f \) so, dass \( p_{1}(z) \) nur aine reelle Nulstelle hat.
d) Wählen Sie \( \omega , f \) so, dass \( P_{1}(z) \) zwei reelle Nulls tollen hat.
e) Wählen Sie \( \omega, f \) so, dass die Newtorische Differentialgleichung zwei reelle periodische Lösungen hat.
f) Wählen Sie \( \omega, f \) so, dass die Newtonache Differentialgleichung zwei linear unabhängige reelle Lösungen hat, die exponentiell abfallen, falls \( t \) sehr viel größer als \( 1 \) wird.
