Die Newtonsche Gleichung für eine Masse an einer Feder, die auf einem Tisch rutscht, lautet:
\( m \frac{d^{2} x(t)}{d t^{2}}=-r \frac{d x(t)}{d t}-k x(t) \)
Die Zahlen \( m, r, k \) bedeuten Masse, Reibungskoeffizient, und Federkonstante. \( m \) und \( k \) sind positiv, \( r \) ist positiv oder Null.
Die Newtonsche Gleichung kann in ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung umgeschrieben werden indem man definiert \( \vec{y}(t)=\left[\begin{array}{l}y_{1}(t) \\ y_{2}(t)\end{array}\right]:=\left[\begin{array}{c}x(t) \\ \frac{1}{\omega} \frac{d x(t)}{d t}\end{array}\right] \) ( \( \omega \) ist eine geeignet gewählte positive Zahl):
\( \frac{d \vec{y}(t)}{d t}=T(\omega, f) \vec{y}(t) \quad \mathrm{mit} \quad T(\omega, f):=\left[\begin{array}{cc} 0 & \omega \\ -\omega & -f \end{array}\right] \)
Die Aufgabe besteht darin, den Zusammenhang zwischen Nullstellen des charakteristischen Polynoms in \( \mathbb{C} \) von \( T \) und den reellen Lösungen der Newtonschen Differentialgleichung zu diskutieren.
a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom \( p_{T}(z) \).
(Tippe für die Variable ' \( \omega \) ' einfach 'omega' in das Eingabefeld.)
b) Wählen Sie \( \omega, f \) so, dass \( p_{T}(z) \) zwei komplex konjugierte Nullstellen hat.
c) Wählen Sie \( \omega, f \) so, dass \( p_{T}(z) \) nur eine reelle Nullstelle hat.
d) Wählen Sie \( \omega, f \) so, dass \( p_{T}(z) \) zwei reelle Nullstellen hat.
e) Wählen Sie \( \omega, f \) so, dass die Newtonsche Differentialgleichung zwei reelle periodische Lösungen hat.
f) Wählen Sie \( \omega, f \) so, dass die Newtonsche Differentialgleichung zwei linear unabhängige reelle Lösungen hat, die exponentiell abfallen falls \( t \) sehr viel größer als 1 wird.
