Gewinnmaximale Menge bei vollständiger Konkurrenz (VWL)

Question

Aufgabe:

 

Ein Unternehmen kann sein Produkt bei vollständiger Konkurrenz zu einem Stückpreis von 500 Euro verkaufen. Seine Fixkosten betragen 4.000,-- Euro, seine variablen Kosten bei X Stück ( 5x^2 + 100x)

 

Bei welcher Stückzahl erreicht dieses Unternehmen sein Gewinnmaximum (Begründung) ?

Erlösfunktion: E(x) = 500*x     E´(x)=500

Kges = 5x^2 + 100x + 4000    K´ges = 10x +100

 

E´(x) = K´ges

500 = 10x+100

x= 40   → Gewinnmaximale Menge 

 

Ist das richtig so? wie begründe ich das?

 

Wie groß sind die Gesamtkosten, wie groß sind die Stückkosten bei gewinnmaximaler Stückzahl?

 

40 einsetzen in Kges

 

Kges(40) = 5 * 40^2 + 100*40 +4000 

= 16.000    ----> Gesamtkosten

 

16.000 : 40 = 400   --> Stückkosten

 

Stimmt das?

 

Wie groß ist der Gesamtgewinn?

 

Q(x) = E(x) - Kges(x)

 

Q(40) = (500*40)- ( 5*40^2 +100* 40 +4000)

= 4000 Gesamtgewinn

 

Könnte bitte jemand das prüfen?

LG

Answer 1

Ein Unternehmen kann sein Produkt bei vollständiger Konkurrenz zu einem Stückpreis von 500 € verkaufen. Seine Fixkosten betragen 4000 €, seine variablen Kosten bei x Stück 5·x^2 + 100·x.

 

K(x) = 5·x^2 + 100·x + 4000

p(x) = 500

 

Bei welcher Stückzahl erreicht dieses Unternehmen sein Gewinnmaximum (Begründung)?

 

E(x) = x·p(x) = 500·x

K(x) = 5·x^2 + 100·x + 4000

G(x) = E(x) - K(x) = (500·x) - (5·x^2 + 100·x + 4000) = - 5·x^2 + 400·x - 4000

G'(x) = - 10·x + 400

 

Maximum G'(x) = 0

- 10·x + 400 = 0

x = 40

 

Da G(x) eine nach unten geöffnete Parabel ist erwarten wir hier das Maximum.

 

Wie groß sind die Gesamtkosten, wie groß sind die Stückkosten bei gewinnmaximaler Stückzahl?

 

K(40) = 5·(40)^2 + 100·(40) + 4000 = 16000 €

 

k(40) = K(40) / 40 = 16000 / 40 = 400 €

 

Wie groß ist der Gesamtgewinn?

 

G(40) = - 5·(40)^2 + 400·(40) - 4000 = 4000