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Aufgabe:

Beweisen oder widerlegen Sie:
Jede wohlgeordnete Menge ist ein vollständiger Verband


Problem/Ansatz:

Ist meiner Meinung nach eine wahre Aussage.

Sei (M, ≤) eine wohlgeordnete Menge und ∅ ≠ T ⊆ M,
dann existiert x ∈ T sodass x ≤ y für alle y ∈ M (nach Definition von Wohlordnung)

Daraus folgt x ist untere Schranke von T. Da x für jede Teilmege T existiert, existiert auch inf{T} für alle T ⊆ M.

Analog würde ich das auch für das sup{T} formulieren, also existieren sup und inf für alle Teilmengen, also ist M ein vollständiger Verband.

Ist die herangehensweise so schlüssig oder fehlt mir noch etwas?

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Die Menge der natürlichen Zahlen mit \(\leq\)

ist wohlgeordnet, besitzt aber kein Supremum.

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