Das Infimum der Teilmenge {1,2,3} wäre 1 und das Supremum 4.
Hier hast du etwas in der Definition des Supremums durcheinander gebracht. Das Supremum einer Teilmenge M in einem Verband V ist das kleinste Element aus V, welches größer oder gleich aller Elemente aus M ist.
Also wäre hier das Supremum von {1,2,3} ⊆ ℕ die Zahl 3, da diese Zahl größer/gleich aller Elemente aus deiner Teilmenge ist und hierbei die kleinste Zahl aus ℕ ist, die diese Eigenschaft besitzt.
Beweise oder Widerlege: Jede wohlgeordnete Menge ist ein vollständiger Verband.
Hierfür würde ich erstmal zeigen, dass die Menge der natürlichen Zahlen wirklich wohlgeordnet ist, etwa per Widerspruchsbeweis.
Sei M eine nicht-leere Teilmenge aus ℕ, welche kein minimales Element besitzt. Definiere die Menge L = ℕ \ M als das Komplement von M. Da 0 in ℕ minimal ist, ist also 0 nicht in L....
Induktiv kann man hier nun zeigen, dass entweder ganz ℕ in L liegt, oder dass irgendwann ein Element nicht in L liegt. Dies muss dann nach den Peano-Axiomen das kleinste Elt in M sein.
Wenn man weiß, dass ℕ wohlgeordnet ist, kann man sich überlegen, ob eine natürliche Zahl existiert, welche größer-gleich allen anderen Natürlichen Zahlen ist, also ob ein Supremum von ℕ existiert.