Beweise oder widerlege die Aussage: Jede wohlgeordnete Menge ist ein vollständiger Verband.

Question

Beweise oder Widerlege: Jede wohlgeordnete Menge ist ein vollständiger Verband.

Mein Ansatz:

Eine Menge ist wohlgeordnet, wenn jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element besitzt. Angenommen, seien die natülürlichen Zahlen eine Wohlgeordnete Menge, so hat die Teilmenge {1,2,3} das kleinste Element 1.

Ein Verband ist vollständig, wenn die Teilmenge ein Infimum und ein Supremum besitzt. Das Infimum der Teilmenge {1,2,3} wäre 1 und das Supremum 4.

Wie kann ich daraus einen allgemeinen Beweis erstellen?

Answer 1

Das Infimum der Teilmenge {1,2,3} wäre 1 und das Supremum 4.

Hier hast du etwas in der Definition des Supremums durcheinander gebracht. Das Supremum einer Teilmenge M in einem Verband V ist das kleinste Element aus V, welches größer oder gleich aller Elemente aus M ist.

Also wäre hier das Supremum von {1,2,3} ⊆ ℕ die Zahl 3, da diese Zahl größer/gleich aller Elemente aus deiner Teilmenge ist und hierbei die kleinste Zahl aus ℕ ist, die diese Eigenschaft besitzt.

Beweise oder Widerlege: Jede wohlgeordnete Menge ist ein vollständiger Verband.

Hierfür würde ich erstmal zeigen, dass die Menge der natürlichen Zahlen wirklich wohlgeordnet ist, etwa per Widerspruchsbeweis.

Sei M eine nicht-leere Teilmenge aus ℕ, welche kein minimales Element besitzt. Definiere die Menge L = ℕ \ M als das Komplement von M. Da 0 in ℕ minimal ist, ist also 0 nicht in L....

Induktiv kann man hier nun zeigen, dass entweder ganz ℕ in L liegt, oder dass irgendwann ein Element nicht in L liegt. Dies muss dann nach den Peano-Axiomen das kleinste Elt in M sein.

Wenn man weiß, dass ℕ wohlgeordnet ist, kann man sich überlegen, ob eine natürliche Zahl existiert, welche größer-gleich allen anderen Natürlichen Zahlen ist, also ob ein Supremum von ℕ existiert.