Matrizengleichungen umformen z. B. A∗X∗B=C

Question

ich verstehe irgendwie die Umformung von Matrizengleichungen nicht. Wie kommt man als Beispiel von A∗X∗B=C auf X=A⁻¹∗C∗B⁻¹? Kann mir das jemand erklären oder eine gute Seite dazu schicken?

Danke :-)

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Wie ist denn dein Mathematischer Werdegang?

Bist du noch in der Schule oder studierst du?

Answer 1

A·X·B = C

Zunächst mal solltest du wissen, dass in der Matrizenrechnung nicht das Kommutativgesetzt der Multiplikation gilt. D.h.

A·B ≠ B·A !!

Weiterhin ist das Produkt einer Matrix und ihrer Inversen die Einheitsmatrix

A·A^{-1} = A^{-1}·A = E

Und eine Matrix mal einer Inversen ist die Matrix

A·E = E·A = A

 

A·X·B = C     | Wir multiplizieren von Links mit A^{-1}

A^{-1}·A·X·B = A^{-1}·C     | A^{-1}·A = E

E·X·B = A^{-1}·C     | E·X = X

X·B = A^{-1}·C     | Wir multiplizieren von Rechts mit B^{-1}

X·B·B^{-1} = A^{-1}·C·B^{-1}     | B·B^{-1} = E

X·E = A^{-1}·C·B^{-1}     | X·E = X

X = A^{-1}·C·B^{-1}

fertig.

Comments

:D:D:D Awesome Timing,

genau die gleiche Erklärung zur gleichen Zeit! ;)

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Ich habe hier noch ein Beispiel: X∗A−2∗X=C−X∗B

X∗A−2∗X=C−X∗B | multiplizieren von Rechts mit B^-1

(X∗A−2∗X)*B^-1=C−X | multiplizieren von Links mit C^-1

C^-1(X∗A−2∗X)*B-1=−X

Stimmt das bis jetzt? Wenn ja, wie mache ich weiter?

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Nein. Du willst ja nach X auflösen, daher ist erstmal das X auf eine Seite zu bringen und dort auszuklammern.

X·A - 2·X = C - X·B

X·A - X·2 = C - X·B

X·A + X·B - X·2 = C

X·(A + B - 2·E) = C

X = C·(A + B - 2·E)^{-1}

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Eine Frage hätte ich da noch zu der Ausklammerung

X·A + X·B - X·2 = C --> X·(A + B - 2·E) = C

Warum kommt bei -X*2 die Einheitsmatrix in die Klammer rein ? Wäre super wenn mir das einer mal erklären würde :)

Gruß

Joe

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A + b ist ja eine Matrix und von einer Matrix kann man nicht einfach eine reelle Zahl abziehen. Daher macht man einen Trick

X·2 = X·E·2 = X·2·E

Jetzt kann man ausklammern und in der Klammer habe ich alles Matrizen und kann die beliebig addieren oder subtrahieren.

Answer 2

Wobei das eigentlich recht leicht ist.

Was wichtig ist, dass du bei der nun folgenden Erklärung beachtest wie ich von links und von rechts multipliziere,

das ist sehr wichtig.

Also wir wollen zeigen

A*X*B=C  <=> X=A^-1 *C*B^-1

Das Zeichen in der Mitte ist ein Äquivalenzzeichen, das heißt der linke Ausdruck ist gleich dem Rechten :)!

Dann legen wir mal los.

Zunächst sollte dir klar sein das A*A^-1 = E_n also die Einheitsmatrix ist.

Im Übrigen ist die Multiplikation in DIESEM Fall(!) Kommutativ, das heißt A*A^-1 = A^-1 *A =E_n

In der Matrizenmultiplikation funktioniert die Einheitsmatrix, so als ob du bei Zahlen eine eins multiplizierst.

Aufgehts:

A*X*B=C <=> A*X*B*B^-1 = C*B^-1 <=> A*X=C*B^-1 <=> (Achtung ich multipliziere von Links) A^-1 *A*X=A^-1 C^* B^-1

<=> X=A^-1 C^* B^-1

Ist also eine einfache Äquivalenzumformung, da man das vor und zurückgehen kann.

Nochmal: Im ersten Schritt hab ich mit der Inversen von B von RECHTS auf beiden Seiten multipliziert. B*B^-1 = En Somit bleibt nur A*X übrig. Im zweiten Schritt habe ich das gleich von LINKS gemacht, auf beiden Seiten, so bleibt nur X übrig.

Ich hoffe ich konnte dir helfen.

Liebe Grüße

;)

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Vielen Dank, das habe ich jetzt verstanden :-) Ich habe oben noch ein Beispiel gepostet, wo eine Subtraktion vorkommt. Wie gehe ich da vor?