Ableitung einer gebrochenrationalen Funktion bilden

Question

Hallo

Ich schreibe morgen meine letzte Mathearbeit für dieses Schuljahr. Ich muss unbedingt mindestens eine 4 schreiben. Dafür habe ich auch schon ganz viel gelernt.

Jedoch verstehe ich noch nicht, wie man eine gebrochenrationale Funktion ableitet. Könnte mir das vielleicht jemand an einem Beispiel erklären ?

Danke schonmal

Answer 1

Gebrochen Rationale Funktionen leitet man mit der Quotientenregel ab.

f(x) = u(x) / v(x)

f'(x) = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / v(x)^2

Also. Wir haben die Funktion

f(x) = 4·x^2/(x^2 + 1)

und die soll nun 2 mal abgeleitet werden.

f(x) = 4·x^2/(x^2 + 1)

u(x) = 4·x^2

u'(x) = 8·x

v(x) = x^2 + 1
v'(x) = 2·x

f'(x) = ((8·x) · (x^2 + 1) - (4·x^2) · (2·x))/(x^2 + 1)^2
f'(x) = (8·x)/(x^2 + 1)^2

u(x) = 8·x
u'(x) = 8

v(x) = (x^2 + 1)^2
v'(x) = 2·(x^2 + 1)·2·x = 4·x·(x^2 + 1)

f''(x) = ((8) * (x^2 + 1)^2 - (8·x) * (4·x·(x^2 + 1)))/(x^2 + 1)^4
f''(x) = ((8) * (x^2 + 1) - (8·x) * (4·x))/(x^2 + 1)^3
f''(x) = (8 - 24·x^2)/(x^2 + 1)^3