Reihen. Absolut / bedingt konvergent, divergent? ∑(-1)^{k-1}log(1+1/k) und ∑ 3^{-k}sin(kπ/2)

Question

Aufgabe zur Klausurvorbereitung:

a) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1} \log \left(1+\frac{1}{k}\right) ; \)

b) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} 3^{-k} \sin \left(k \frac{\pi}{2}\right) \).

Ansatz:

Beim ersten würde ich eine Indexverschiebung machen und dann Leibniz anwenden. Wenn ich dann also |log(1+1/k+1)| nur noch betrachte, würde ich sagen, dass es gegen log(1) also gegen 0 geht und das wiederum <1 ist. Also konv. es.

Bei b) tippe ich darauf, dass es beim Sinus irgeneinen Trick gibt bzw. kann man das sicher umschreiben, nur weiß ich nicht genau wie, weil so kann ich ja ehrlich gesagt eher sehr wenig mit der Reihe anfangen.

Ich weiß nur, dass die Reihe von cos(k*π) dasselbe wie die Reihe von (-1)^k ist.

Bei b) habe ich jetzt etwas rausbekommen! :) Und zwar 1/3 < 1 also konv. (abs.) nach Wurzelkrit.

Und bei a) bin ich mir immer noch nicht ganz sicher: Nach Leibniz geht das bei mir gegen 0 < 1 also ebenso abs. konv.

Answer 1

zu a)  Die Reihe konvergiert nach dem Leibnitzkriterium, da \(a_k=\log\left(1+\frac1k\right)\) eine monoton fallende Nullfolge ist. Die Konvergenz ist aber nicht absolut, wie man wie folgt sieht.$$\small\sum_{k=1}^N\log\left(1+\frac1k\right)=\sum_{k=1}^N\log\frac{k+1}k=\sum_{k=1}^n\big(\log(k+1)-\log k\big)=\log(N+1).$$

Comments

Der letzte Schritt ist mir noch nicht ganz klar, warum es nicht absolut konvergiert, ehrlich gesagt.

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Bekanntlich ist \(\log N\) nicht beschränkt. Damit ist auch die Folge der Partialsummen nicht beschränkt, was bedeutet, dass die Reihe divergiert.

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Also divergiert die Reihe?? Oder konvergiert sie, aber nicht absolut?

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$$\text{Die Reihe }\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\cdot\log\left(1+\frac1k\right)\text{ konvergiert. Die Konvergenz}$$$$\text{ist nicht absolut, da die Reihe }\sum_{k=1}^{\infty}\log\left(1+\frac1k\right)\text{ divergiert.}$$

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Achso, ok. Jetzt habe ich es verstanden!! :) Vielen Dank für die Hilfe