Beweise mathematisch, dass bei z^5=i z=0.9511 + 0.3090i ist.

Question

z^5=i

z=0.9511 + 0.3090i

Wie kann ich dies mathematisch beweisen?

Comments

z ist nur eine mögliche Lösung dieser Gleichung. In C gibt es 5 verschiedene Lösungen.

Eine Lösung sollte man in die ursprüngliche Gleichung einsetzen können. Das wäre ein mathematischer Beweis für dein Resultat.

Wenn (0.9511 + 0.3090i)^5 = 0 + 1*i rauskäme, wäre das Resultat mathematisch korrekt. Du wirst feststellen, dass gerundet wurde.

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ja, werde ich tun. Wie kann ich denn z^5=i in matlab berechnen? Muss ich erst alle 5 möglichen z=cos(...)+i*sin(...) Funktionen bestimmen und diese eingeben, oder gibt es da einen einfacheren Weg?

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Mit matlab kenne ich mich nicht aus. Ich könnte dir sagen wie man Wolframalpha dazu bekommt.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E5+%3D+i

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danke, ich habe die Lösung gefunden. War doch einfacher als ich dachte :S

>> syms z
>> solve('z^5=i')

ans =

i

(5^{1/2}*i)/4 - i/4 + (2^{1/2}*(5^{1/2} + 5)^{1/2})/4

(2^{1/2}*5^{1/2}*(5^{1/2} + 5)^{1/2})/8 - (5^{1/2}*i)/4 - (2^{1/2}*(5^{1/2} + 5)^{1/2})/8 - i/4

(2^{1/2}*(5^{1/2}/4 - 1/4)*(5 - 5^{1/2})^{1/2})/4 - i*(5^{1/2}/4 - 1/4)*(5^{1/2}/4 + 1/4) - (i*(5 - 5^{1/2})^{1/2}*(5^{1/2} + 5)^{1/2})/8 - (2^{1/2}*(5^{1/2}/4 + 1/4)*(5^{1/2} + 5)^{1/2})/4

(i*(5 - 5^{1/2})^{1/2}*(5^{1/2} + 5)^{1/2})/8 - (2^{1/2}*(5^{1/2}/4 - 1/4)*(5 - 5^{1/2})^{1/2})/4 - i*(5^{1/2}/4 - 1/4)*(5^{1/2}/4 + 1/4) - (2^{1/2}*(5^{1/2}/4 + 1/4)*(5^{1/2} + 5)^{1/2})/4

Answer 1

z^5 = i = e^{pi/2·i}

z = (e^{pi/2·i})^{1/5} = e^{pi/10·i} = COS(pi/10) + SIN(pi/10)·i = 0.9510565162 + 0.3090169943·i

Comments

Wie man das mit Matlab macht weiß ich nicht. Mit Wolframalpha ist das sehr einfach:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E5+%3D+i