Bestimmen Sie alle Lösungen x der Gleichung x^7 - x = 0 in Z/7Z.
Es gibt sicher viele Möglichkeiten, diese Aufgabe zu bearbeiten. Eine davon besteht im Einsetzen der sieben infrage kommenden Kandidaten. Dabei lassen sich durch die Wahl günstiger Repräsentanten große Zahlen in der Rechnung sparen, wir wählen { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }. Da der Term auf der linken Seite offenbar ungerade ist, mussmit +a auch -a eine Lösung sein, es müssen also nur vier Kandidaten überprüft werden.
Eine weitere Möglichkeit, mit dieser Gleichung umzugehen, besteht im Faktorisieren der linken Seite. Zunächst wird ausgeklammert:
x^7 - x = 0 mod 7
x * (x^6 - 1) = 0 mod 7
Eine Nullstelle kann nun abgelesen werden, die anderen lassen sich durch Einsetzen in den rechten Faktor überprüfen, was einfacher ist als in der ursprünglichen Gleichung. Es kann noch weiter faktorisiert werden:
x * (x^3 - 1) * (x^3 + 1) = 0 mod 7
x * (x - 1) * (x^2 + x + 1) * (x + 1) * (x^2 - x + 1) = 0 mod 7
Jetzt lassen sich schon drei Lösungen ablesen. Wegen 1 ≡ -6 mod 7 geht noch
x * (x - 1) * (x^2 + x - 6) * (x + 1) * (x^2 - x - 6) = 0 mod 7
und mit dem Satz von Vieta ergibt sich
x * (x - 1) * (x - 2) * (x + 3) * (x + 1) * (x + 2) * (x - 3) = 0 mod 7
eine vollständige Zerlegung in Linearfaktoren. Eine noch übersichtlichere Darstellung wäre
x * (x^2 - 1) * (x^2 - 4) * (x^2 - 9) = 0 mod 7.
Sicher gibt es noch andere Lösungsansätze.
