f ( x ; y ) := x ³ - y ³ + 3 ( x ² - 3 ) y ( 1a )
Gleich als Erstes solltet ihr die Funktion immer auf Symmetrien untersuchen; hier liegt Punktsymmetrie vor:
f ( - x | - y ) = - f ( x | y ) ( 1b )
Wie bei allen Punkt symmetrischen Funktionen ist der Ursprung Nullstelle; schaut mal die Grafik, die Pappi gefunden hat.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x+%C2%B3++-++y++%C2%B3++%2B++3++%28++x++%C2%B2++-++3++%29++y+%3D+0+ f_x ( x ; y ) = 3 ( x ² + 2 x y ) = 3 x ( x + 2 y ) = 0 ( 2 )
Die Symmetrie bleibt gewahrt; wir finden zwei Geraden, die durch den Ursprung verlaufen.
f_y ( x ; y ) = 3 ( x ² - 3 - y ² ) = 0 ( 3a )
Dies ist ein ===> Kegelschnitt; eine ( stehende ) Hyperbel ist gekennzeichnet durch die Formel
( x / a ) ² - ( y / b ) ² = 1 ( 3b )
Dabei beschreibt die Bedingung a = b die gleichseitige Hyperbel mit ihren aufeinander senkrecht stehenden Asymptoten. Die Halbachse a = sqr ( 3 ) entspricht dem Abstand der beiden Scheitel vom Ursprung. Auch hier wieder: Die beiden Äste einer Hyperbel verlaufen Punkt symmetrisch gegen den Schnittpunkt ihrer Asymptoten.
Die ordinate kommt nicht zum Schnitt mit der Hyperbel; mit der Geraden ( 2 ) findest du den Schnittpunkt
P1 = ( - 2 | 1 ) ( 4a )
auf dem linken Ast ( x < 0 ) so wie durch Spiegeln
P2 = ( 2 | - 1 ) ( 4b )
auf dem rechten
f_xx ( x ; y ) = 6 ( x + y ) ( 5a )
f_xy ( x ; y ) = 6 x ( 5b )
f_yy ( x ; y ) = - 6 y ( 5c )
Dann heißt die Hessematrix in P1
-1 -2
-2 -1
Über die Determinante entscheiden wir, dass beide Eigenwerte entgegen gesetztes Vorzeichen haben ===> Sattelpunkt. Hier sind allerdings die im Vorteil, die brav ihre ===> Paulimatrizen gelernt haben. Es geht darum, dass sich jede Hermitesche 2 X 2 Matrix aus den 3 Basismatrizen 1| , S1 und S3 zusammen setzen lässt. In unserem Fall
H ( P1 ) = - ( 1| + 2 S1 ) ( 6a )
Die Argumentation hinter ( 6a ) als Spinmatrix hat S1 die Eigenwerte Plus/Minus Eins Du musst also rechnen
1 + 2 * ( + 1 ) = 3 ( 6b )
1 + 2 * ( - 1 ) = ( - 1 ) ( 6c )
