Kurvendiskussion f(x):=(x+1)^4+1, wenn 0>x>=-2 und f(x):=2-x, wenn 0<=x<=3

Question

Es geht um eine Funktion f(x) mit Fallunterscheidung der Form:

       (x+1)^4+1, wenn 0>x>=-2 und 

       2-x, wenn 0<=x<=3

wobei x aus den reellen Zahlen ist. Ich definiere nun mal f1(x) als (x+1)^4+1 und f2(x) als 2-x, ich hoffe das ist so OK. 

Zu ermitteln sind: Nullstellen, (lokale) Extrema sowie Stetigkeit und Differenzierbarkeit in x=0

 

So, Nullstellen bestimmt man ja  durch Nullsetzen der Gleichungen:

f2(x)=0

2-x=0 (Hier ist die Nullstelle sinniger Weise bei 2) also erste Nullstelle=2 (Gehe ich recht in der Annahme das es maximal 5 sind, weil die eine Funktion vom Grad 4 und die andere vom Grad 1 ist? Wenn die Nullstelle nun bei 4 oder -1 liegen würde, bzw. eine der Nullstellen, dann dürfte ich diese nicht verwenden, korrekt?)

f1(x)=0

(x+1)^4 +1=0 (Ja wir habe ich hier nun vorzugehen? Meine Idee:)

<=> (x+1)^4=-1 Widerspruch da x und 1 € lR damit auch (x+1)€lR und für jedes y€lR gilt y^{2*n} mit n€lN ist positiv

Ich habe also lediglich x0=2 als Nullstelle und zwar von f2(x)

 

Extrema:

f1'(x)=(x+1)^4 +1)'=4*(x+1)³

f2'(x)=(2-x)'=1

f2'(x)=0

1=0 Widerspruch, also keine Extrema

f1'(x)=0

4*(x+1)³=0

4*(x+1)*(x+1)*(x+1)=0 (Trivial da x*y=0 wenn y v x=0, einzige Möglichkeit ist also -1=x)

4*(-1+1)*(-1+1)*(-1+1)=0

Hinreichende Bedingung: f1''(x)=12(x+1)²

Setze ein in f1''(-1)=12*(-1+1)²=0 Tja war wohl nichts

Da f1''(x) aber durch das Quadrieren immer positiv ist, haben wir hier eine Linkskrümmung und daher handelt es sich um einen Tiefpunkt, nun bestimme ich die Stelle:

Setze ein f1(-1)=(-1+1)^4 +1=1 also Extremstelle bei (-1 | 1) in f1(x) und diese ist ein Tiefpunkt

Stetigkeit:

Da f2(0)=2 und damit definiert ist, ist die Funktion stetig oder nicht? (Für f1(0) muss ich ja nicht testen)

Ist damit auch gleich die notwendige Bedingung für die Differenzierbarkeit erfüllt?

Das mit der hinreichenden Bedingung verstehe ich nicht ganz, dass müsste ich auch nochmal wissen aber ich würde behaupten da f2'(x)=2 ist, lässt sich da überall eine eindeutige Tangente anlegen.

 

Danke für eure Hilfe, ich hoffe da ist nicht zuuuu viel falsch. Ich mache das zum ersten Mal seit langem wieder und bin definitiv eingerostet.

Answer 1

Hi,

da ist nicht zuuu viel falsch. Sieht ganz gut aus ;).

Ein paar Kleinigkeiten die mir aufgefallen sind.

 

1.

f2(x) = 2-x

f2'(x) = -1

Ändert aber sonst nichts an Deiner Argumentation.

 

2.

Stetigkeit: Hier reicht es nicht aus einfach nur von "existiert" zu sprechen, sondern Du musst Dich auch vergewissern, dass f1(0) = f2(0). Das ist der Fall und damit stetig.

 

3.

Die Differenzierbarkeit ergibt sich unter anderem mittels der Ableitung. Die ist an der Stelle 0 jeweils unterschiedlich, also f'1(0) ≠ f'2(0) und damit nicht differenzierbar an dieser Stelle.

 

Noch ein Bildchen dazu, die das von Dir gesagte bestätigt ;).

 

Du siehst hier weitere Extrema. Die "Randpunkte" müssen also noch gesondert untersucht werden und es können diesbzgl weitere Aussagen getroffen werden.

 

Grüße

Comments

So schnell kann man was übersehen, du hast natürlich recht mit der Ableitung....

Zu der Stetigkeit, soll ich da wirklich f1(0) = f2(0) prüfen? Weil 0 ja gar nicht Teil des Intervalls von f1 ist eigentlich.

Mhm also bei der Differenzierbarkeit erneut das gleiche Prinzip, ich darf doch 0 gar nicht einsetzen in f1? Entweder ich verstehe etwas gerade gar nicht oder du hast ein >= gesehen wo keins steht. Beides menschlich :)

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Du schaust Dir ja eine Stelle von rechts und links an. Ist der Grenzwert derselbe ist alles in Ordnung, dann kommt man von beiden Seiten tatsächlich beim bestimmten Punkt an. Da hier x = 0 keine Problemstelle ist (anders bei bspw. der Nennernullstelle 0) einfach einsetzen. Du kannst es aber auch "sauberer" mit dem Limes machen ;).

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Mhm das habe ich jetzt noch nicht so ganz verstanden, wieso genau muss ich f1(0) überhaupt betrachten wenn doch gemäß Definition f1 nur verwendet wird, sobald 0>x>=-2 auftritt und das ist mit x=0 ja nicht erfüllt, da: 0>0>=-2 durch 0>0 zum Widerspruch führt. Aaargh Mathe :D

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Salopp gesagt so:

Du hast die Funktion f1, welche bis 0 läuft (exklusive 0). Ab 0 (inklusive) geht es weiter mit f2. Beachte nun, dass es (vom Bleistift aus gesehen) keinen Unterschied macht, ob inklusive oder exklusive. Besonders in Bezug auf die Frage "Treffen die beiden Kurven an der Stelle x = 0 aufeinander oder sind sie versetzt zueinander".


So eher verständlich?^^

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Gerne ;)     .

Answer 2

f1 ( x ) =   ( x + 1)⁴ + 1  für -2 <= x < 0

f2 ( x ) =  2 -  x   für  0 <= x <= 3

Nullstellen

f1 ( x ) =   ( x + 1)⁴ + 1 = 0
( x + 1 )^4 = -1  ist eine falsche Aussage
da ein Term hoch 4 immer positiv ist
und nie -1.
f2 ( x ) = 2 - x = 0
x = 2
Nullstelle ( 2  | 0 )

Extrema
1.Ableitungen
f1  ´( x ) = 4 * ( x + 1 )^3
f2 ´ ( x ) = -1
Stellen mit waagerechter Tangente
f1  ´( x ) = 4 * ( x + 1 )^3 = 0
x + 1 = 0
x = -1
f2 kann niemals 0 werden. Die Steigung
ist ja stets -1.

Funktionswert an der Stelle x = -1
f1 ( -2 ) = ( -1 + 1)^4 + 1 = 1
( -1 | 1 )

2.Ableitung
f1 ´´ ( x ) = 12 * ( x+ 1 )^2
Hoch- oder Tiefpunkt
f1 ´´ ( -1 ) = 12 * ( -1 + 1 )^2 = 0
Noch keine Entscheidung
Da versuchen wir es über die Monotonie
f1 ´ ( x ) > 0  ( steigend )
4 * ( x + 1 )^3 > 0
( x + 1 )^3 > 0
x + 1 > 0
x > -1
Jetzt fällt es mir ein. Dies ist eine ganz spezielle
Art des Wendepunkts.
Er werde gleich einmal im Internet nachschauen
und dann die Antowrt geben.

Stetigkeit
linker Grenzwert = Funktionswert = rechter Grenzwert
x < 0
lim x -> 0- = ( x + 1)⁴ + 1 = 2
x = 0
2 -  x = 2
Rechter Grenzwert : dasselbe 2
Die Funktion ist stetig.

Differenzierbarkeit
Für die 1.Ableitung gilt auch
linker Grenzwert = Wert 1.Ableitung = rechter Grenzwert
x < 0
lim x -> 0-
4 * ( x + 1 )^3 = 4
x = 0
f2 ´ ( 0 ) = -1
Die Steigung stimmt nicht überein.
Die zusammengesetzte Funktion ist an der Stelle
x = 0 nicht differenzierbar.

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

 

Comments

Auch danke für diese Antwort, nun habe ich auch verstanden was Unknown mit dem Grenzwert meinte :)

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Die Stelle x = -1 ist ein sogenannter Flachpunkt.
Die Krümmung ist null, wechselt aber nicht das
Vorzeichen.
( Siehe Graph von unknown )
Ich muß mich damit selbst nocheinmal beschäftigen.

mfg Georg