Rang der Matrix {{2,2,x},{2,x,2},{x,2,2}} in Abhängigkeit von x ermitteln.

Question

A(x) =        2 2 x

                  2 x 2

                  x 2 2

         
Ich bekomme es irgendwie nicht hin. ist Rang = 3 richtig?

Answer 1

[2, 2, x]
[2, x, 2]
[x, 2, 2]

I - II ; x*I - 2*III

[0, 2 - x, x - 2]
[0, 2·x - 4, x^2 - 4]

2*I + II

[0, 0, x^2 + 2·x - 8]

x^2 + 2·x - 8 = 0
x = -4 ∨ x = 2

So jetzt solltest du vielleicht mal überprüfen was für einen Rang du für x = 2 hast und welchen Rang für x = -4. Ersten Fall hätte man auch gleich an der Matrix ablesen können.

Comments

hey vielen dank. woher weiß man dass es für x 2 lösungen gibt. ich hätte jetzt einfach in die erste zeile geschaut ( 2 + 2 + x = 0 ) und hätte für x = -4 herausbekommen und würde denken das wärs dann.

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Du missversteht da etwas. Für x kannst du auch 5 einsetzen. Dann lautet die Matrix eben

[2,2,5]
[2,5,2]
[5,2,2]

Gefragt ist nach dem Rang der Matrix, wenn man für das x unterschiedliche werte einsetzt.

Kannst du den Rang der obigen Matrix bestimmen und dann noch die Ränge der beiden folgenden Matrizen

[2,2,2]
[2,2,2]
[2,2,2]

[2,2,-4]
[2,-4,2]
[-4,2,2]

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hey mathecoach. kannst du bitte erklären wie du vorgegangen bist?
hast du versucht so weit wie möglich bei der umformung zur zeilenstufenform voranzugehen ? und dann ab dem punkt wo es nicht mehr weiter geht das LGS gelöst?

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bd496: Hattest du dir Frage gestellt? Entspricht die Fragestellung exakt deiner Aufgabe?

Da ist nach dem Rang einer Matrix und nicht nach der Lösung eines LGS gefragt. Ausserdem ist gar keine Gleichung gegeben.

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ja ich hatte gefragt und ich verstehe es leider immer noch nicht .. ich weiß dass ich bei einer berechnung eines ranges immer zeilenstufenform rechnen muss. jedoch verstehe ich hier nicht was hier gerechnet wird. ich komme auch auf die gleichung die für ein x = - 4  und 2 als ergebnis führt. jedoch kommt in der matrix auch eine andere gleichung wo für ein x = -4 und für das andere 0 rauskommt..


könntest du wenn es geht schritt für schritt erklären wie ich hier genau vorgehen muss? der parameter macht das ganze für mich so verwirrend

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Nochmals deutlich. Die Matrix ist auf Zeilenstufenform zu bringen:

[2, 2, x]
[0, 2 - x, x - 2]
[0, 0, x² + 2·x - 8]

Rechnung wie oben.

Wie kannst du jetzt aus dieser Matrix den Rang ablesen bzw. berechnen ?

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rang = anzahl der zeilen die nicht nur aus nullen bestehen oder?

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Ok. wann besteht die 3. Zeile nur aus Nullen und wann besteht die 2. Zeile nur aus Nullen.

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ah jetzt verstehe ich, jedoch habe ich es nicht geschafft so wie du eine zeilenstufenform zu erhalten. vielen dank

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Dann versuche das nochmal nachzuvollziehen. Ich habe meine Rechnungen ja oben dazu geschrieben.

I - II --> Erste Zeile minus zweite Zeile.

x*I - 2*III --> x mal erste Zeile minus 2 mal dritte Zeile.

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ich hätte jetzt gerne eine bewertung gegeben aber es geht leider nicht da ich irgendwie eine andere ID habe

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Bewertungen sind nicht so wichtig. Wichtiger ist, dass du es verstanden hast und eine ähnliche Aufgabe selber ohne Probleme lösen könntest.

Du könntest dazu eine Alternativaufgabe nehmen und das dort mal probieren

https://www.mathelounge.de/36410/rang-der-matrix-1-2-2-1-1-a-2-a-1-2-in-abhangigkeit-vom-parameter-a

Answer 2

 Im folgenden habe ich jeweils ein geeignetes a-faches der Pivotzeile zu einem entsprechenden b-fachen der darunterliegenden Zeilen addiert und dabei darauf geachtet, dass b nicht Null wird, was hier aber nicht vorkam. Die neuen Elemente in der dritten Zeile habe ich nicht ausmultipliziert, sondert faktorisiert:

$$ \begin{aligned} & \begin{pmatrix}2 &  & 2 &  & x\\
2 &  & x &  & 2\\
x &  & 2 &  & 2
\end{pmatrix}\\
\\
= & \begin{pmatrix}2 &  & 2 &  & x\\
0 &  & \left(x-2\right) &  & \left(2-x\right)\\
0 &  & 2\cdot\left(2-x\right) &  & \left(2-x\right)\cdot\left(2+x\right)
\end{pmatrix}\\
\\
= & \begin{pmatrix}2 &  & 2 &  & x\\
0 &  & \left(x-2\right) &  & \left(2-x\right)\\
0 &  & 0 &  & \left(2-x\right)\cdot\left(4+x\right)
\end{pmatrix}.
\end{aligned} $$

Nach den insgesamt drei Zeilenumformungen und ohne Fallunterscheidungen während der Rechnung lässt sich nun alles Notwendige zur Rangbestimmung ablesen.

Answer 3

A_(x) =        2 2 x

                  2 x 2

                  x 2 2

2 2 x
2 x 2
x 2 2
 

 

1. Fall x=2 springt ins Auge
2 2 2
2 2 2
2 2 2

2 2 2
0 0 0
0 0 0       Rang ist 1.

Rang(A₂) = 1

2. Fall x≠2

Zeilen 1 und 3 vertauschen           
Achtung in der Zeilenumformung steckte wurde noch eine Fallunterscheidung unterschlagen. jetzt blau.

x 2 2 
2 x 2
2 2 x

2x   4   4
2x x^2 2x              |Falls x≠0, für x=0 darf man nicht mit x mult!
2x  2x x^2

2x ,    4  , 4
0, x^2-4, 2x-4
0,  2x-4, x^2-4

2x ,    4  , 4
0, (x-2)(x+2), 2(x-2)
0,  2(x-2), (x-2)(x+2)          |Erinnnerung: x≠2. Also Zeilen durch (x-2) teilen

x,  2,  2
0, x+2, 2
0, 2  , x+2

x, 2 , 2
0, 2(x+2), 4                        
0, 2(x+2), (x+2)^2            | mit (x+2) mult. Somit x≠ -2      

x, 2 , 2
0, 2(x+2), 4
0, 0 , (x+2)^2 - 4

x, 2 , 2
0, 2(x+2), 4
0, 0 , x^2 + 4x

x, 2 , 2
0, 2(x+2), 4
0, 0 , x(x+4)

Falls x≠- 4  ==> Rang (A_x )= 3 

Fall x=-4

-4, 2 , 2
0, -4, 4
0, 0 , 0           Rang(A_-4) = 2

Fall x=-2

-2, 2 , 2
0, 0, 4
0, 0 , -4           Rang(A_-2) = 2

-2, 2 , 2
0, 0, 4
0, 0 , 0         Rang(A_-2) = 2

 

3. Fall: x=0 und 4. Fall x=-2
==> Rang ist 3.
Mathecoach hat die Umstellung bereits hingeschrieben.

 

Zusammenfassung:

Rang(A_x) = 1, falls x=2 
Rang(A_x) = 2, falls x=-4
Rang(A_x) = 3, sonst

Bitte selbst nachrechnen.

Comments

Ich rechne das mal für x = 0 nach

[2, 2, 0]
[2, 0, 2]
[0, 2, 2]

I - II

[2, 2, 0]
[0, 2, -2]
[0, 2, 2]

II - III

[2, 2, 0]
[0, 2, -2]
[0, 0, -4]

Da ist doch auch der Rang 3 oder nicht ?

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Habe den Fall oben blau hervorgehoben.

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Ich rechne das mal für x = -2 nach

[2, 2, -2]
[2, -2, 2]
[-2, 2, 2]

I - II ; I + III

[2, 2, -2]
[0, 4, -4]
[0, 4, 0]

II - III

[2, 2, -2]
[0, 4, -4]
[0, 0, -4]

Hmmm...

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Gleiche Falle, wie vorher! Wenn ich mit x-2 multipliziere, muss ich den Fall x=2 natürlich ausschliessen und dann noch gesondert ansehen.

Du hattest doch auch eine Zeile mal x gerechnet. Warum hast du denn da x=0 nicht speziell betrachten müssen? Das hat ja irgendwie ohne geklappt.

Mein Fazit:

Man wäre bei dieser Matrix wohl einfacher über die Determinante gegangen.
Da kommen die Fallunterscheidungen wenigstens erst später ins Spiel und man vergisst die Ausnahmen weniger.

Determinante von

2 2 x
2 x 2
x 2 2
= 4x + 4x + 4x - x^3 - 8 - 8 = -x^3 + 12x - 16
Determinante 0 setzen.
-x^3 + 12x - 16 = 0    
x^3 - 12x + 16 = 0.              x=2 muss eine Lösung sein.
(x^3                      - 12x + 16): (x+2) = x^2 +2x -8  = (x+4)(x-2)
 x^3 - 2x^2
--------------
+2x^2
2x^2 + 4x
--------------------
                   -8x
-8x -16
------------------------
                             0                               
Daher Determinante (x+4)(x-2)^2 = 0.
Einzige Spezialfälle x=-4 und x=2