Hilfe bei Unterräumen, Abhängigkeit und Rang von Matrizen

Question

Hallo

Ich bräuchte einen Ansatz um meine Aufgaben lösen zu können.

Zu 1  affine Teilräume?  (a ist ein unterraum, b nicht?  Bitte korrigieren falls ich es falsch verstanden habe) 

Zu 2 linearkombinationen sind mir bekannt, aber wie wende ich das bei Matrizen an?  Und mit unbekannter? 

Zu 3 Rang bestimmen ist mir auch bekannt, aber in Abhängigkeit von A,b und C? Heißt das ich soll das 3 mal machen oder einmal mit allen drein? 

Danke schonmal 

Answer 1

Zu 1  affine Teilräume?  (a ist ein unterraum, b nicht?

umgekehrt wird ein Schuh draus.

Bitte korrigieren falls ich es falsch verstanden habe) 

Zu 2 linearkombinationen sind mir bekannt, aber wie wende ich das bei Matrizen an?

wieso Matrizen, das sind doch drei Vektoren.

  Und mit unbekannter? 

rechne einfach (-1)*1. Vektor + (-2)* 2. Vektor das

gibt ( 3 ; -10 ;  1 )   Also muss a=1 sein.

Zu 3 Rang bestimmen ist mir auch bekannt,

vermutlich mit Umformung der Matrix auf Stufenform. Das machst du

hier genauso, die a,b,c sind einfach nur Variablen, mit denen rechnest du wie

mit Zahlen.  Wenn also alle drei = 0 sind, ist der Rang = 2 .

Comments

Danke erstmal

Nochmal zu 3.

Ich kann ja, wie du schon erwähnst, alle drei Variablen 0 setzen und habe dann meine Stufenform und der Rang ist 2, aber war das wirklich schon alles oder übersehe ich hier etwas?

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Ich kann ja, wie du schon erwähnst, alle drei Variablen 0 setzen und habe dann meine Stufenform und der Rang ist 2, aber war das wirklich schon alles
Nein, das war nur ein Fall.  
Du musst die Möglcikeiten durchgehen
was ist ewenn etwa a=0 und b,c nicht
oder a=0 und b= 0 und c nicht etc.

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Ok. Also

a,b,c = 0

a=1, b=0 c=0

a=1, b= 1 c=0

etc oder?

edit also alle möglichen Fälle durchprobieren?

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vielleicht kannst du auch einige mit einem Argument zusammenfassen

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Ok das habe ich schonmal. Zurück zu 1.

Wie funktioniert das denn ? Und was sind affine Teilräume?

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Eine Teilmenge A eines Vektorraums V heißt affiner Unterraum,

wenn es einen Vektor v aus  V und einen

Untervektorraum U von  V gibt, so dass A = v + U gilt.

bei b) sind das alle Vektoren von C^3, für die gilt:

3x+5y+2z=1   und  2x + ( 1+3i)*y  - z = 0 ist ein Lineares
Gleichungssystem, dessen Lösungsmenge du durch
Umformnung auf Stufenform leicht bestimmen kannst.

gibt
130    0     5-105i          20 - 30 i
0        130   49+63i       14+18i

also sehen die Lösungen so aus
(  ( 20-30i)/130   ;    ( 14 + 18i)/130  ; 0 )  + t * ( ........)
und alle von der Form t*(.......) bilden einen eindimensionalen
Untervektorraum von C^3.

Also ist die Lös.menge ein. affiner Raum.

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Hmm, aber ich soll doch nur bestimmen ob die angegebenen Mengen Unterräume sind und nicht welche Vektoren dazu passen. Zu a) hätte ich z.B raus das es kein Unterraum ist, weil wenn ich zwei beliebige Vektoren nehme und sie addiere die Lösungsmenge nicht mehr in U1 liegt da der z Wert nicht mehr das Quadrat von y ist. Und bei b) ist es doch auch kein Unterraum, weil der 0 Vektor nicht in der Menge liegt da 0 = 1 nicht zutrifft. Oder verstehe ich die Aufgabe falsch?

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Ja, es geht um AFFINE Unterräume nicht Untervektorräume.

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Ok danke erstmal. Also falsch verstanden. Du ahst doch aber oben geschrieben 

"Eine Teilmenge A eines Vektorraums V heißt affiner Unterraum,

wenn es einen Vektor v aus  V und einen

Untervektorraum U von  V gibt, so dass A = v + U gilt."

Wenn es einen Untervektorraum gibt. Aber die Mengen in der Aufgabe können ja keine Unterräume sein. Siehe letzter Kommentar.

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edit   Achso es geht darum das der Vektorraum einen Unterraum hat und ich soll nachprüfen ob die angegebenen Mengen affine Teilräume sind

edit 2 Also ich soll davon ausgehen das es einen Vektor und einen Unterraum gibt?

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und zwar muss es die beiden so geben, dass A = v + U gilt.

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Also A ist mein U1 und v, U soll ich bestimmen?

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So ist es .

Und dass es bei U1 so ein A nicht geben kann

kannst du durch geeignete Gegenbeispiele beweisen.