Richtig oder falsch...Fragen zu Vektoren, Vektorräumen und Unterräumen.

Question

Es seien u und v Vektoren eines K-Vektorraums V der Dimension 2, die verschiedene eindimensionale Unterräume aufspannen. Dann gilt:(a) u und v sind beide nicht null (b) u ist ein Vielfaches von v oder v ist ein Vielfaches von u (c) keiner der Vektoren u und v ist ein Vielfaches des anderen (d) zusammen spannen u und v ganz V auf (e) die Menge aller K-Vielfachen von u - v ist ein zweidimensionaler Untervektorraum von V (f) die Menge aller K-Vielfachen von u -v ist ein zweidimensionaler echter Untervektorraum von V (g) die Menge aller K-Vielfachen von u - v ist ein eindimensionaler Untervektorraum von V (h) die Menge aller K-Vielfachen von u -v ist ein affiner Unterraum aber kein Untervektorraum von V.

Answer 1

Es seien u und v Vektoren eines K-Vektorraums V der Dimension 2, die verschiedene eindimensionale Unterräume aufspannen. Dann gilt:

(a) u und v sind beide nicht null   Ja , sonst wären sie nicht 1-dim.
(b) u ist ein Vielfaches von v oder v ist ein Vielfaches von u  nein, dann wären die Unterräume nicht verschieden

(c) keiner der Vektoren u und v ist ein Vielfaches des anderen  ja , s.o.

 (d) zusammen spannen u und v ganz V auf   ja wegen  dim =2 (e) die Menge aller K-Vielfachen von u - v ist ein zweidimensionaler Untervektorraum von V  nein

 (f) die Menge aller K-Vielfachen von u -v ist ein zweidimensionaler echter Untervektorraum von V nein

 (g) die Menge aller K-Vielfachen von u - v ist ein eindimensionaler Untervektorraum von V  ja

 (h) die Menge aller K-Vielfachen von u -v ist ein affiner Unterraum aber kein Untervektorraum von V. nein

Comments

Müsste (c) nicht richtig sein analog zu der Erklärung zu (b)?

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Oh ja, war vertippt.