Bestimmen Sie für alle k ∈ ℕ den Rang von \Lambda^{k} , d.h.

Question

Es sei \( \mathbb{K} \) ein Körper und
\( A:=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \in \mathbb{K}^{5 \times 5}, B:=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ * & 0 & \# \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{4 \times 3} . \)
a) Bestimmen Sie für alle \( k \in \mathbb{N} \) den Rang von \( A^{k} \), d.h. vom \( k \)-fachen Produkt \( \underbrace{A \cdot \ldots \cdot A}_{k \text { mal }} \).
b) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von \( * \) und # den Rang von \( B \).

Answer 1

Für k=1 rg=4

Für k=2 rg=3

für k=3 rg= 2

für alle weiteren rg=1

Comments

Mittag,

kurze Nachfrage, wie kommt man auf diese Resultate?

---

Für k=1 : Betrachte die Matrix:

5 Zeilen, davon eine mit 0en, die

anderen lin. unabh. ==> rg=4.

Dann bilde A*A und beobachte:

5 Zeilen, davon 2 mit 0en, die
anderen lin. unabh. ==> rg=3.

etc.

---

Das wurde hier ja sehr grob aufgeschrieben. Wie schreibt man es denn genau auf?