Berechnung Wert einer Reihe: Σ 1/((k+1)(k+5))

Question

Hallo kann mir jemand bei meinem Mathe Problem helfen?

Ich soll den Wer dieser Reihe berechnen. Σ 1/((k+1)(k+5))

\( \sum \limits_{k=3}^{\infty} \frac{1}{(k+1)(k+5)} \)

Vielen Dank schon mal Im Voraus.

Answer 1

Zitat: Vielen Dank schon mal Im Vor raus.

Hi, es muss eigentlich im Voraus heißen!

Mein Computer liefert als Ergebnis 319/1680. Dies erscheint ein wenig unbefriedigend und es stellt sich die Frage: Wie kommt man ohne Elektrizität drauf? Vielleicht wird eine Partialbruchzerlegung des Summanden Möglichkeiten zum Schwanzabschneiden eröffnen. Daraus ergibt sich hoffentlich eine überschaubare endliche Summe. Ich habe das allerdings noch nicht durchgerechnet. Vielleicht möchtest Du es also zunächst mal selbst versuchen?

Comments

So, nun hab ich's mal mit Papier und Bleistift ausgerechnet
und als Ergebnis 1/4 * (1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7) erhalten.

Answer 2

Den Wert?

Eine Reihe besteht aus einzelnen Gliedern (Summanden), die dann aufgrund des Summenzeichens aufsummiert werden.

Dein ersten Glied der Reihe bekomst du, wenn du ein k = 3 einsetzt.

Dein 2. Glied ist für k = 4. Wenn du die Reihe beim 2, Glied abbrichst, dann ist der Wert der Reihe gleich die Summe vom 1. und vom 2. Glied.

Andernfalls geht die gleiche Prozedur bei wabchsenden k immer weiter.

Answer 3

Σ 1/((k+1)(k+5))  Summe von k=3 bis unendlich

= Σ 1/((k)(k+4))       Summe von k=4 bis unendlich

Betrachte Partialbruchzerlegung der Summanden:

1/((k)(k+4))  = A/k + B/(k+4)

= (A(k+4) + Bk)/(k(k+4))

=((A+B)k + 4A)/(k(k+4))

vergleiche die blauen Teile 

==> 1=4A ==> A=1/4

A+B = 0 ==> B= -1/4

= Σ 1/((k)(k+4)) 

= Σ ( 1/(4k) - 1/(4(k+4)) )

= 1/4  Σ (1/k - 1/( k+4) )                  k=4,5,6,7,8,....

=1/4 ( 1/4 - 1/8 + 1/5 - 1/9 + 1/6 - 1/10 + 1/7 - 1/11 + 1/8 - 1/12 + 1/9 - 1/13 + ......)

.                |Alle blauen Terme werden durch die roten kompensiert. Man nennt das Teleskopsumme.

= 1/4( 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7) = 319/1680

Comments

Hi Lu, ich habe es ohne Indexverschiebung gerechnet. Möchte man verschieben, könnte man auch noch etwas weiter verschieben.

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Super! Danke für den Hinweis! Ich wollte eine möglichst einfache Partialbruchzerlegung haben.
Du meinst wohl:

Σ 1/((k+1)(k+5))  Summe von k=3 bis unendlich

= Σ 1/((k-2)(k+2))          | Summe von k=6 bis unendlich.

Da würde man nach der Partialbruchzerlegung vielleicht noch weniger rechnen müssen.