Berechnen Sie die Werte folgender Reihen: (1) Σ 1/7^{k+1}, (2) Σ (-1)^k/5^k

Question

Berechnen Sie die Werte folgender Reihen:

(1) \( \sum \limits_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{7 k+1} \)

(2) \( \sum \limits_{k=4}^{+\infty} \frac{(-1)^{k}}{5^{k}} \),

(3) \( \sum \limits_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{4 k^{2}-1} \)

(4) \( \sum \limits_{k=0}^{+\infty}\left(\frac{5}{7^{k}}-\frac{3}{11^{k}}\right) \).

Hinweis zu (3): Schreiben Sie \( \frac{1}{4 k^{2}-1} \) als Differenz zweier Brüche und betrachten Sie die induzierten Partialsummen.

Answer 1

(1) Indexverschiebung und Ausklammern liefert$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{7^{k+1}}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{7^{k+2}}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{7^k\cdot7^2}=\frac1{49}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac17\right)^k=\frac1{49}\cdot\frac1{1-\frac17}=\frac1{42}$$

Comments

Danke. Zur 2)

Durch Umformung bin ich schon soweit gekommen. Wenn ich jetzt den Kehrbruch bilde verschwindet mein ^n+1 leider nicht.

\( \sum \limits_{0}^{\infty} \frac{\left(\frac{-1}{5}\right)^{n+1}-1}{\frac{-6}{5}}-0,832 \)

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$$\sum_{k=4}^{\infty}\frac{(-1)^k}{5^k}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k+4}}{5^{k+4}}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\cdot(-1)^4}{5^k\cdot5^4}\\=\frac1{625}\sum_{k=0}^{\infty}\left(-\frac15\right)^k=\frac1{625}\cdot\frac1{1-\left(-\frac15\right)}=\frac1{750}.$$Alternativ kannst du auch wie folgt vorgehen:$$\sum_{k=4}^{\infty}\frac{(-1)^k}{5^k}=\sum_{k=0}^{\infty}\left(-\frac15\right)^k-\sum_{k=0}^3\frac{(-1)^k}{5^k}\\=\frac1{1-\left(-\frac15\right)}-\left(\frac11-\frac15+\frac1{25}-\frac1{125}\right)=\frac56-\frac{104}{125}=\frac1{750}.$$

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Ich dachte, dass man eine Summe in der Form ( a ) hoch i nur in diese Form:

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty}(q)^{i}=\frac{(q)^{n+1}-1}{(q)-1} \)

überführen darf.

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Das ist die Summenformel für endliche geometrische Reihen. Du musst hier \(\infty\) durch \(n\) ersetzen (und \(k\) durch \(i\)). Die gilt für alle \(q\ne1\). Die unendliche geometrische Reihe existiert nur für \(\vert q\vert<1\). Beachte, dass in diesem Fall \(\lim_{n\to\infty}q^n=0\) gilt.

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Kleine Aktualisierung:

Bei Aufgabe 4) komm ich jetzt auf 77/43.

Bei 3) bleib ich an folgender Stelle stecken:

\( \frac{1}{4} \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}-3 \Longleftrightarrow \frac{1}{4} * \frac{1}{1-\left(\frac{1}{k}\right)}-3 \)

Warum darf man in der Aufgabe 1 und in dieser hier den Exponent aus dem Bruch ziehen obwohl beide im Zähler gar keinen Exponent haben?

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(3) ist keine geometrische Reihe. Beachte den Hinweis:$$\frac2{4k^2-1}=\frac2{(2k-1)(2k+1)}=\frac1{2k-1}-\frac1{2k+1}.$$Das führt auf eine sog. Teleskopsumme.