Potenzen mit ungleicher Basis zusammenfassen/berechnen

Question

ich soll hier folgende Aufgabe zusammenfassen aber komme einfach nicht auf das richtige Ergebnis:
$$\frac{1}{a^{n-3}}-\frac{a^2-1}{a^{n+1}}-\frac{a^2-1}{a^{n-1}}$$

ich habe hier zuerst versucht alles auf den gleichen nenner zu bringen und bin dann darauf gekommen:

$$\frac{a^2-1}{-a^{n-3}-a^{n+1}}$$

ich weiß nicht wie ich hier noch weiter machen kann, die lösung lautet laut buch:

$$\frac{1}{a^{n+1}}$$

wäre nett wenn mir jemand dabei weiter helfen könnte ;)
danke im voraus,

mfg subis

Answer 1

Moin Subis,

wie kommst Du denn auf diesen Hauptnenner? Beachte, dass

\(a^{n+1} = a^n\cdot a \)

ist. Das gilt auch für den Rest. Du hast also immer eine Multiplikation. Eine Summe wie bei Dir bekommt man da kaum hin ;).

Bringen wir das mal auf den Hauptnenner \(a^{n+1}\).

$$\frac{1}{a^{n-3}}\cdot\frac{a^4}{a^4} - \frac{a^2-1}{a^{n+1}} - \frac{a^2-1}{a^{n-1}}\cdot\frac{a^2}{a^2}$$

Klar, wie es zur Erweiterung kommt? Beispiel für ersten Nenner: \(a^{n-3}\cdot a^4 = a^{n-3+4} = a^{n+1}\)

Ganz nach den Potenzgesetzen. Es ergibt sich bei uns auf einen Nenner gebracht:

$$\frac{a^4\; -\; (a^2-1)\; - \; (a^2-1)\cdot a^2}{a^{n+1}} = \frac{1}{a^{n+1}}$$

Grüße

Comments

vielen vielen dank für diese erklärung das hat mir sehr viel  weiter geholfen! :)

mfg Subis

Answer 2

1/a^{n - 3} - (a^2 - 1)/a^{n + 1} - (a^2 - 1)/a^{n - 1}

Ich bringe alles auf den Hauptnenner a^{n + 1}

a^4/a^{n + 1} - (a^2 - 1)/a^{n + 1} - a^2·(a^2 - 1)/a^{n + 1}

Zun die Brüche zusammenfassen

(a^4 - (a^2 - 1) - a^2·(a^2 - 1))/a^{n + 1}

1/a^{n + 1}

Comments

ahhh, vielen dank, ich wusste einfach nicht wie ich es am einfachsten machen kann deswegen habe ich das echht kompliziert gemacht und bin auch noch auf ein falsches Zwischenergebnis gekommen :D hatte echt gehofft das ich damit schon ein bisschen was geschafft hätte :P

Aber das leuchtet mir auf jeden fall ein, vielen dank!