Die Fläche eines komplizierten Vielecks zu berechnen, das sich quer durch die Kästchen Deines Collegeblocks zieht, sieht auf den ersten Blick nach einer sehr schweren Aufgabe aus. Wenn alle Ecken und Kanten auf den Punkten des Quadratgitters liegen, dann ist das keine schwere Sache. Aber was ist wenn dies nicht der Fall ist? Was ist wenn die Kanten des Vielecks mitten durch die Kästchen gehen und nur die Ecken auf Punkten des Quadratgitters liegen? Dann, meine Freunde, ist der Satz von Pick an der Reihe!
Der Satz von Pick ist, wie ihr wahrscheinlich bereits bemerkt habt, dazu da, um die Fläche eines Vielecks zu berechnen, das auf einem quadratischen Gitternetz liegt. Laut dem Satz von Pick braucht man um den Flächeninhalt F zu berechnen bloß die folgende Formel auszurechnen:
$$ F = I + \frac{K}{2} - 1$$
Dabei ist I die Anzahl der Gitterpunkte im Inneren des Vielecks, und K die Anzahl der Gitterpunkte auf den Kanten des Vielecks (einschliesslich der Ecken).
Wichtig: Die Formel gilt nur(!) wenn sich die Kanten der Figur nicht selber schneiden, und die Figur keine Löcher hat!
Beweisidee
- Der Satz ist additiv: Wenn man 2 Vielecke, die sich in einer gemeinsamen Strecke schneiden, zu einem Vieleck "fusioniert", dann addieren sich die Flächen, und auch die Flächen der Formel. Denn: Die Randpunkte im inneren der Strecke werden zu inneren Punkten (bei uns von I bezeichnet) und die zwei Ende der Strecke zu zwei Randpunkten,
- Wegen seiner Additivität gilt er somit auch für rechtwinklige Dreiecke mit achsenparallelen Katheten, weil es halbe Rechtecke sind.
Beliebige Dreiecke
Betrachten wir nun ein beliebiges Dreieck. Da rum kann man immer ein achsenparalleles Rechteck zeichnen, das das Dreieck in allen drei Ecken berührt. Das gewünschte Dreieck erhält man, wenn man von dem Rechteck noch zwei bis drei rechtwinklige Dreiecke abschneidet. Wendet man nun die Abschneide-Formel* an, erhält man das Resultat, dass der Satz von Pick auch für beliebige Dreiecke gilt.
*\({\texttt{Wir haben ein Vieleck, für das der Satz von Pick gilt,}} \)
\({\texttt{wenn man davon nun ein Vieleck, für das der Satz von Pick ebenfalls gilt, }}\)
\({\texttt{ausschneidet, dann gilt er auch für das "Übriggebliebene".}}\)
Der Satz von Pick ist für mich so faszinierend, weil er sich sehr leicht und sehr schnell berechnen lässt, egal wie kompliziert die zu berechnende Fläche auch erscheinen mag, probierts mal aus! Negative und positive Kritik bitte in die Kommis ;)
