Habt ihr auch schon mal vor dem Problem gestanden, dass ihr ein Gleichungssystem hattet. Also ein Problem, welches aus zwei Gleichungen und zwei Variablen besteht und das ihr zu lösen hattet?
Dann stelle ich euch heute das Additionsverfahren vor, mit dem ihr so einem Gleichungssystem zu Leibe rücken könnt :).
Additionsverfahren:
Problemstellung:
9x+3y = 6 (I)
2y = 6x- 8 (II)
Wir haben also zwei Gleichungen und zwei Unbekannte x und y. Wir sind nun daran interessiert, für welches x und welches y beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt sind!
Um überhaupt beginnen zu können ist es sinnvoll die Gleichungen zu sortieren. Links die Variablen, rechts den Rest (Es wird absichtlich nicht vereinfacht, um somit das Niveau etwas anzuheben und weitere Feinheiten zu verdeutlichen)
9x+3y = 6 (I)
2y = 6x-8 (II) |-6x
-----
9x+3y = 6 (I)
-6x+2y = -8 (II)
Die Gleichungen sind unbedingt mit römischen Zahlen zu versehen, da im folgenden dadurch klar ausgedrückt werden kann, welche Schritte vollzogen werden.
Sinn ist es durch das Additionsverfahren, also dem Addieren (oder Subtrahieren) der beiden Gleichungen eine Variable zu eliminieren (deswegen auch auf Eliminationsverfahren). Dabei ist es möglich, dass die Gleichungen zuvor multipliziert werden müssen, damit eine Variable letztlich eliminiert werden kann.
Vorschlag: 3*(II)-2*(II)
9x+3y = 6 (I)
-36x = 36 (III)
Was hier also gemacht wurde ist folgendes: Die Gleichung (I) ist direkt übernommen worden. Diese trotzallem immer mitschleppen! Für die Gleichung (III) wurde die ursprüngliche Gleichung (II) mit 3 multipiziert und Gleichung (I), welche mit 2 multipliziert wurde, davon abgezogen.
Ganz langsam sieht das so aus:
9x+3y = 6 (I) |*2
-6x+2y = -8 (II) |*3
------------
18x + 6x = 12 (Ia)
-18x + 6x = -24 (IIa)
(IIa)-(Ia)
-18x-18x = -36x
6x-6x = 0
-24-12 = -36
Also genau das, was wir in Gleichung (III) schon stehen haben -> -36x = -36
Rechnet man nun zu Ende:
Vorschlag: 3*(II)-2*(II)
9x+3y = 6 (I)
-36x = -36 (III) |:(-36)
--> x = 1
Damit in Gleichung (I):
9*1+3y = 6 |-9
3y = -3 |:3
y = -1
-> Lösung ist x=1 und y=-1
Und damit haben wir unser Gleichungssystem gelöst. Wir wissen nun dank dem Additionsverfahren für welches x und welches y das Gleichungssystem erfüllt ist. Du glaubst es nicht? Mache die Probe, in dem Du die Lösung für x und y in Gleichung (I) und (II) einsetzt!
Mit diesem kleinen Einblick in das Lösungsverfahren eines Gleichungssystem, hoffe ich euch ein Stück weiter in die Materie gebracht zu haben. Ich wünsche viel Spaß beim Üben und weiterstöbern :).
Grüße
Unknown
PS: Für Kommentare und Verbesserungsvorschläge (und Fehlermeldungen, gerne auch Rechtschreibfehler *hust*) immer gerne offen.
PPS: Neben dem Additionsverfahren gibt es auch das Einsetzungsverfahren und das Gleichsetzungsverfahren. Du bist interessiert wie man mit diesen umgeht? Dann schaue hier rein:
Einsetzungsverfahren: https://www.mathelounge.de/45968/lineares-gleichungssystem-einsetzungsverfahren-erklart
Gleichsetzungsverfahren: https://www.mathelounge.de/46013/lineares-gleichungssystem-gleichsetzungsverfahren-erklart
Damit klar wird, dass man mit allen Verfahren arbeiten kann, wurde mit dem jeweils gleichen Beispiel gerechnet :).
