Habt ihr auch schon mal vor dem Problem gestanden, dass ihr ein Gleichungssystem hattet. Also ein Problem, welches aus zwei Gleichungen und zwei Variablen besteht und das ihr zu lösen hattet?
Dann stelle ich euch heute das Einsetzungsverfahren vor, mit dem ihr so einem Gleichungssystem zu Leibe rücken könnt :).
Einsetzungsverfahren:
Problemstellung:
9x+3y = 6 (I)
2y = 6x- 8 (II)
Wir haben also zwei Gleichungen und zwei Unbekannte x und y. Wir sind nun daran interessiert, für welches x und welches y beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt sind!
Um nun das Einsetzungsverfahren wählen zu können, nehmen wir die zweite Gleichung und lösen nach y auf, in dem die Gleichung als ganzes durch 2 dividiert wird (das ist eine Äquivalenzumformung und somit erlaubt).
9x+3y = 6 (I)
2y = 6x- 8 (II) |:2
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9x+3y = 6 (I)
y = 3x- 4 (III)
Wir haben es nun geschafft eine Gleichung nach y aufzulösen. Damit wissen wir, dass wir y auch anders ausdrücken können. Denn y ist ja (dank dem = Istgleich-Zeichen) genau dasselbe, wie wenn man sagt: 3x-4.
Dieses Wissen nehmen wir nun in Gleichung (I), wir ersetzen also das y durch den bekannten roten Ausdruck 3x-4.
Es ist dabei absolut notwendig Klammern zu setzen!
-> (III) in (I)
9x+3(3x-4) = 6
Wir haben unser Problem also vereinfacht. Aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten haben wir ein Problem gebastelt, welches nur noch aus einer Gleichung und einer Variablen besteht. Lösen wir das.
9x+9x-12 = 6 |+12
18x = 18 |:18
x=1
Wir haben also die erste Lösung. Nehmen wir diese und gehen in Gleichung (III).
y = 3*1-4 = -1
-> Lösung ist x=1 und y=-1
Und damit haben wir unser Gleichungssystem gelöst. Wir wissen nun dank dem Einsetzungsverfahren für welches x und welches y das Gleichungssystem erfüllt ist. Du glaubst es nicht? Mache die Probe, in dem Du die Lösung für x und y in Gleichung (I) und (II) einsetzt!
Mit diesem kleinen Einblick in das Lösungsverfahren eines Gleichungssystem, hoffe ich euch ein Stück weiter in die Materie gebracht zu haben. Ich wünsche viel Spaß beim Üben und weiterstöbern :).
Grüße
Unknown
PS: Für Kommentare und Verbesserungsvorschläge (und Fehlermeldungen, gerne auch Rechtschreibfehler *hust*) immer gerne offen.
PPS: Neben dem Einsetzungsverfahren gibt es auch das Additionsverfahren und das Gleichsetzungsverfahren. Du bist interessiert wie man mit diesen umgeht? Dann schaue hier rein:
Additionsverfahren: https://www.mathelounge.de/46100/artikel-lineares-gleichungssystem-additionsverfahren-erklart
Gleichsetzungsverfahren: https://www.mathelounge.de/46013/lineares-gleichungssystem-gleichsetzungsverfahren-erklart
Damit klar wird, dass man mit allen Verfahren arbeiten kann, wurde mit dem jeweils gleichen Beispiel gerechnet :).
