Ungleichung (x-1)(x+1)(x+3) > 0

Question

wie löse ich folgende Ungleichung?

(x-1) (x+1) (x+3) > 0

Muss hier ausgeklammert werden oder einfach nur überprüft werden, wann die einzelnen Klammern größer 0 sind?

Danke und Gruß

Answer 1

Aber eine Standardvorgehensweise gibt es hier nicht, oder?
Also das man das richtig errechnen kann. Es bleibt nichts anderes
übrig als sich die Ungleichung anzusehen und zu überlegen,
wann sie größer 0 ist?

Hier eine Berechungsmöglichkeit.

(x-1) (x+1) (x+3) > 0

Vieleicht so
Nullstellen festellen
x = 1
x = -1
x = -3
Ausmultiplizieren
( x^2 - 1) * ( x + 3 )
x^3  +  3 * x^2  -  x  - 3
1.Ableitung bilden
3*x^2  +  6 * x  - 1
Nullstellen in die erste Ableitung einsetzen
und die Steigung berechnen
f ´( -3 ) = 3 *(-3)^2 + 6 * ( -3) - 1 = +8
f ´( -1 ) = 3 *(-1)^2 + 6 * ( -1) - 1 = -4
f ´( 1 )  = 3 *(1)^2 + 6 * ( 1) - 1 = +8

Skizze

-----/--------\------/-------
     -3        -1     1

Bei x = -3 gehts nach oben und bei x = -1 wieder nach
unten. Bei x = 1 wieder nach oben.

Also liegt die Funktion zwischen
( -3 < x < -1 ) und ( x > 1 ) oberhalb der x-Achse.

mfg Georg

Answer 2

Es genügt, wenn du die einzelnen Klammern ansiehst.

(x-1) (x+1) (x+3) > 0

Damit ein Produkt grösser als Null ist, darf nur eine gerade Anzahl von Faktoren kleiner als Null sein.

(x-1) (x+1) (x+3) > 0

Alle Faktoren sind positiv, wenn gilt x> 1.

Genau zwei Faktoren sind negativ, wenn gilt -3<x<-1.

Also: L = {x Element R| -3<x<-1 oder x>1}

Comments

ok, vielen Dank.

Aber eine Standardvorgehensweise gibt es hier nicht, oder? Also das man das richtig errechnen kann. Es bleibt nichts anderes übrig als sich die Ungleichung anzusehen und zu überlegen, wann sie größer 0 ist?

Danke und Gruß

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Dein 'anschauen' darf schon Spuren auf dem Lösungsblatt hinterlassen.

Du kannst standardmässig erst mal aufzählen

Nullstellen x1=-3, x2=-1, x3=1.

1. Fall x<-3

Produkt neg.

2. Fall -3<x<-1

Produkt pos.

3. Fall -1<x<1

Produkt neg.

4. Fall x> 1

Produkt pos.

Zusammengefasst L = {... wie oben}

Answer 3

$$ -2 \cdot 3 \cdot -4 \cdot -5 = - 120 $$

$$-2 \cdot -3 \ -4 \cdot -5 = + 120$$

Merke: Das Produkt mehrer Zahlen ist nur dann negativ, wenn die Anzahl der negativen Faktoren gerade ist!

 

Bei $$(x-1) \cdot (x+1) \cdot (x+3)$$ sind insgesamt 3 Faktoren (ungerade). D.h. unser Term ist nur(!) dann >0, wenn entweder 2 Faktoren negativ sind oder keine, also alle positiv.

 

Damit alle Faktoren positiv sind, muss x>1 (x=0 ist nicht positiv) sein. 

Damit 2 Faktoren negativ sind, muss -3 < x < -1. 

 

Alles klar?

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