Grenzwert einer Funktion bestimmen: lim (sin (5x^2) - 18x +5) / (cos(3x^2) + 5x) für x→∞

Question

Möchte den Grenzwert folgender Funktion bestimmen:

lim  (sin (5x^2) - 18x +5) / (cos(3x^2) + 5x)

x→∞

Wie muss ich hier vorgehen? L'Hospital anwenden?

Comments

Oben und unten ist der Grenzwert minus respektive plus unendlich. Daher müsste eigentlich Hospital anwendbar sein.

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L´Hospital anwenden !

Answer 1

Was gibt den der SIN und der COS als Funktionswert. Irgendwas zwischen -1 und 1 denke ich mal. Dann denk dir dort mal wo jetzt der SIN bzw. der COS steht einfach nur eine -1 oder +1 dahin. Wie wäre dann der Grenzwert? Meinst du da wird jetzt der SIN oder der COS irgendeinen großen Einfluss haben?

D.h. du brauchst hier auch nur x im Zähler und Nenner ausklammern und kürzen.

lim (x→∞) (SIN(5·x^2) - 18·x + 5)/(COS(3·x^2) + 5·x)

lim (x→∞) (- 18 + 5/x + SIN(5·x^2)/x)/(5 + COS(3·x^2)/x) = (- 18 + 0 + 0)/(5 + 0) = - 18/5

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Schön. So ist das natürlich viel einfacher als ein Versuch mit Hospital!

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Danke für deine Antwort! Das hat mir sehr geholfen.

Answer 2

Hi,

die einfachste Möglichkeit wird die des Abschätzens sein.

Du solltest wissen, dass der Sinus und der Cosinus nur immer zwischen -1 und 1 schwanken. Der lineare Summand hingegen geht jeweils gegen Unendlich. Wenn wir das also nun betrachten, reicht es aus den Sinus und Cosinus zu ignorieren und uns auf den linearen Teil zu konzentrieren.

Das funktioniert wie üblich, dass man durch die höchste Potenz dividiert und somit bleibt hier

 

lim_x->∞ (sin (5x²) - 18x +5) / (cos(3x²) + 5x) = -18/5

 

Alles klar?

 

Grüße

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Natürlich auch ein ganz großes danke an dich für deine Antwort. Die Aufgabe ist mir jetzt klar geworden! Und so ist es auch einfacher zu lösen.