Ableitung der Funktion f(x) = x²+3 (h-Schreibweise)

Question

Bestimme die Ableitung der Funktion f an der Stelle 3 und -3 mithilfe der h-Schreibweise

f(x) = x²+3

Was soll ich da machen? Als wir das Thema angefangen haben war ich leider krank und nun komme ich mit dem Stoff nicht mehr mit weil ich einfach nicht weiß was ich machen soll :(

Answer 1

m = (f(x + h) - f(x)) / h

m = ((x + h)^2 + 3 - (x^2 + 3)) / h

m = (x^2 + 2xh + h^2 + 3 - x^2 - 3) / h

m = (2xh + h^2) / h

m = 2x + h

für lim h→0 ergibt sich jetzt

f '(x) = 2x

Jetzt kannst du in die Ableitungsfunktion beliebige Zahlen einsetzen:

f '(-3) = 2(-3) = -6

f '(3) = 2*3 = 6

Nachtrag:

Ich habe für die Sekantensteigung jetzt m geschrieben um es von der Tangentensteigung f '(x) abzugrenzen.

Comments

welcher teil ist für die sekantensteigung und welcher für die tangentensteigung?

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Dort wo das h noch in der Aufgabe ist, ist es die Sekantensteigung. Erst wenn das h gegen Null geht wird die Sekantensteigung zur Tangentenstegung.

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ich habe noch eine frage dazu und zwar hab ich das in der schule bisher nur angewendet als ich die punkte vorgeben hatte und jetzt weiß ich nicht wie man es macht wenn man nur eine funktion angeben hat wie es die rechnung zeigt. deswegen ist mir die rechnung nicht so schlüssig :( hilfe!

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Du könntest auch für das x überall (-3) bzw. 3 einsetzen. Dann wäre das so, wie du es in der Schule gemacht hast. 

Dann müsste ich aber die Rechnung einmal für x = (-3) und einmal für x = 3 machen. Das wär dann doppelte arbeit und so habe ich es einfach nur mit x gemacht. Einige nehmen auch x₀. Auch das mache ich hier wegen dem Aufwand nicht. Ausserdem sollte man schon von beginn dazu schreiben das man die Grenzwertbetrachtung macht, denn

f '(x) = (f(x + h) - f(x)) / h 

stimmt so natürlich nur wenn das h gegen Null geht.

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q mit dem abstand h: q(x0+h/(x0+h)^2)

sekantensteigung:

ms= (x0+h)^2/x0+h-x0=(x0+h)*(x0+h)-x0^2/h=x0^2+2x0h+h^2-x0^2=2x0h+h^2/h=h*(2x0+h)/h=2x0+h

tangentensteigung:

f´(x0)=ms=lim h gegen 0 ms= lim h gegen 0 2x0+h=2x0

die steigung besitzt den punkt (x0/x0^2) die steigung 2x0

 

hier ist das beispiel aus der schule..ich verstehe einfach den zusammenhang mit der obrigen rechnung nicht. warum das dann auch geht wenn man eine funktion hat und die stellen 3 und -3.

 

ich hoffe du kannst mir nochmal helfen, sodass selbst ich es verstehe :)

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Zunächst mal ist Deine Aufgeschriebene Rechnung so nicht korrekt. Du solltest Zähler und Nenner Klammern, wenn sie nicht im Bruch sondern hintereinander stehen. Ich verbesser das mal

ms= (x0+h)^2/x0+h-x0=(x0+h)*(x0+h)-x0^2/h=x0^2+2x0h+h^2-x0^2=2x0h+h^2/h=h*(2x0+h)/h=2x0+h

ms =((x0 + h)^2 - x0^2)/(x0 + h - x0)

ms = ((x0 + h) * (x0 + h) -x0^2) / h

ms = (x0^2 + 2x0h + h^2 - x0^2) / h

ms = (2x0h + h^2) / h

ms = h*(2x0+h)/h

ms = 2x0 + h 

Dieses ist die Berechnung der Sekantensteigung der Funktion f(x) = x^2. Genau so habe ich es auch gemacht für die Funktion f(x) = x^2 + 3. Nur habe ich der Übersichtlichkeit für x0 nur x genommen und direkt für ms schon f '(x) genommen.

Dieses ist eine Allgemeine Berechnung der Sekantensteigung an einer Stelle x0 mit einem anderen Punkt an der Stelle x0 + h. Da es allgemein ist kann man hier beliebige Stellen für x0 einsetzen. Also z.B. -3 oder +3. Wenn die Sekante nicht interessiert geht ja das h gegen 0 und kann deswegen weggelassen werden.

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 :)

jetzt frage ich mich nur noch was das f in der rechnung zu bedeuten hat..

m = (f(x + h) - f(x)) / h

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und oben ist doch gar nicht f`(x) für ms eingesetzt oder?

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tangentensteigung:
f´(x0) = für lim h gegen 0 (ms)
lim h gegen 0 (2x0 + h = 2x0)

 

m = (f(x + h) - f(x)) / h 

f(x) ist hier der Funktionswert an der Stelle x und f(x + h) der Funktionswert an der Stelle x + h.

und da die Steigung m definiert ist als

m = (y1 - y2) / (x1 - x2) setzte ich hier ein

 

m = (f(x + h) - f(x)) / (x + h - x)

Und im Nenner kann ich jetzt das x - x wegnehmen und es bleibt:

m = (f(x + h) - f(x)) / h

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okay supi danke jetzt hab ich alles verstanden :)

ich hab noch weitere aufgaben auf und frage mich wie es bei der funktion f(x)=(x-2)^2 funktioniert, klammern verwirren mich immer..

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m = (f(x + h) - f(x)) / h 

Nun die Funktion einsetzen 

m = ((x + h - 2)^2 - (x - 2)^2) / h 

m = ((x^2 + 2xh - 4x + h^2 - 4h + 4) - (x^2 - 4x + 4)) / h 

m = (2xh + h^2 - 4h) / h 

m = (2x + h - 4)

Für h gegen 0 gilt damit

f '(x) = 2x - 4

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aaah die -2 wird einfach mit in die klammer eingesetzt, ich verstehe..

danke!!!

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Du erstetzt einfach immer das x durch (x + h) wobei du die Klammer um das (x + h) auch weglassen darfst, soweit man es darf!

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ist es dann so:

f´(-3)=2(-3)-4=-10

f´(3)=2*3-4=2

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Ja genau. -10 und 2 sind richtig.

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ich versuche es gerade selber an der funktion: f(x)=3x^2

ich bin nur bis hier gekommen: ms: ((x0+h+3)^2-(x0+3)^2)

das auflösen fällt mir schwer..

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f(x) = 3x^2 = 3 * x^2

m = (f(x + h) - f(x)) / h

m = (3 * (x+h)^2 - 3 * x^2) / h

 

m = (3 * (x^2 + 2xh + h^2) - 3 * x^2) / h

m = (3x^2 + 6xh + 3h^2 - 3x^2) / h

m = (6xh + 3h^2) / h

m = 6x + 3h

für h --> 0

f '(x) = 6x

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dann ist:

f´(-3)=6(-3)+3=6

f´(3)=6*3+3=21

oder?

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6*(-3) + 3 = -18 + 3 = -15 und nicht 6

Das andere stimmt.

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oh da hab ich ich wohl vertan, danke!

jetzt meiner aller letzte frage..

ich hab die aufgabe zwar nicht mehr auf aber wir haben jetzt ja fast jeden aufgabentyp durch und frage mich nun wie es bei der funktion f(x)= x^2+2x wäre. wo kommen die 2x hin?

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ms= ((x+h)^2+2(x+h)-(x^2+2x))/h

hab ich den ansatz richtig? ich hoffe ich hab es endlich verstanden..

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Du erstetzt immer das x durch (x+h)

f(x) = x^2 + 2x

f(x+h) = (x+h)^2 + 2(x+h) = x^2 + 2xh + h^2 + 2x + 2h

 

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Ja. Dein Ansatz wäre soweit richtig.

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oh jetzt verstehe ich gar nichts mehr so sieht es ganz anders aus als in den Rechnungen zuvor..

wie würde dann die ganze Rechnung aussehen?

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((x-h)² + 2(x+h) -(x²+2x))/h

oder ist es so richtig?

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Dein Ansatz 

ms= ((x+h)^2 + 2(x+h) - (x^2+2x)) / h

war soweit schon richtig. Ich habe ja nicht den kompletten Bruch genommen sondern nur das f(x+h) und das f(x) aus dem Zähler.

 

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ms= ((x+h)^2 + 2(x+h) - (x^2+2x)) / h

ms=(x^2+2xh+h^2+2x+2h-x^2-2x)/h

ms=(h^2+2hx+2h)/h

ms=(h(h+2x+2))/h+2x+2

richtig?

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ms = (h^2 + 2hx + 2h) / h

Achtung: Hier muss man jetzt das h aus jedem Summanden gegen das h im Nenner kürzen. Du kannst es auch vorher ausklammern wie der Lehrer gemacht hat.

ms = (h(h + 2x + 2)) / h

ms = h + 2x + 2