Rekursiv definierte Folge: a_1 :=1; a_n+1 := 1/(1+a_n)

Question

a₁ :=1

a_n+1 := 1/(1+a_n)

Ich möchte untersuchen, ob oben stehende Folge konvergiert und dann ihren Grenzwert berechnen. Wie muss ich hier vorgehen? Muss ich bei rekursiv definierten Folgen etwas beachten?

Comments

n → 0  , Grenzwert 0 !

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Sorry, aber das passt doch hier überhaupt nicht. Erstens soll hier n nicht gegen 0, sondern gegen unendlich streben, und zweitens ist der gesuchte Grenzwert nicht gleich 0, wie schon von anderen gemeldet.

Answer 1

Hallo Sommersonne

Bei einer solchen Aufgabe gibt es zunächst einmal kein allgemein brauchbares "Rezept" zur Lösung. Deshalb solltest du dir mal ein Bild von der entstehenden Folge machen, indem du eine Reihe von Gliedern mit Hilfe der gegebenen Rekursionsformel berechnest, bis du etwa die ersten 10 Glieder der Folge anschauen kannst. Mach dies bitte NICHT mit dem Taschenrechner, sondern nur mit deinen eigenen Fähigkeiten im (Bruch-) Rechnen !

Schau dir dann die entstandenen Brüche (mit ihren Zählern und Nennern) genau an und probiere, darin eine Gesetzmäßigkeit zu entdecken, der du vielleicht in etwas anderem Zusammenhang auch schon begegnet bist.

LG

Comments

danke für deine Antwort! Schade, dass es bei solchen Aufgaben kein allgemein gültiges Rezept gibt.

Hier würde ich nach deinem Tipp sagen, dass es sich um eine Nullfolge handelt, die konvergiert und deren Grenzwert somit Null ist. Wie muss ich das mathematisch richtig aufschreiben? Einfach die ersten 10 Folgenglieder hinschreiben und dann daraus meinen Schluss ziehen?

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hast du denn diese ersten 10 Glieder wirklich ausgerechnet und als Brüche ganzer Zahlen aufgeschrieben ? Falls ja, und falls dir das Stichwort "Fibonacci" etwas sagt, solltest du in den Zählern und Nennern dieser Brüche Bekannte wiedererkennen ! Und wenn du dir die Werte dieser 10 Glieder doch noch dezimal hinschreibst (jetzt mal mit Hilfe des Taschenrechners), sollte sich deine Vermutung, dass es sich bei der Zahlenfolge um eine Nullfolge handeln könnte, ziemlich rasch in einem Räuchlein verflüchtigen !

Ich empfehle dir wirklich, dies alles auszuführen, damit du einen besseren Überblick vom Ganzen erhältst !

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Ja, Fibonacci Zahlen sagen mir etwas. Aber wie kann ich das jetzt als Lösung vernünftig hinschreiben? Die ersten Zehn Glieder habe ich mir aufgeschrieben.

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Gut. Dann kannst du z.B. sehen, dass  a₅ = 5/8 = f₄ / f₅  und allgemein  a_n = f_n-1 / f_n  .  Im Zusammenhang mit der Fibonaccifolge wurden diese Quotienten und ihr Limes vermutlich schon betrachtet (hat was mit "goldenem Schnitt" zu tun ...). Um zu zeigen, dass die Folge der a_n konvergent ist, könntest du zum Beispiel (per vollst. Induktion) zeigen, dass die Teilfolgen der Glieder mit geraden / ungeraden Indices monoton steigend / fallend sind und dass deren Differenzfolge eine Nullfolge ist. Wenn man dann weiß, dass die Folge der a_n  einen Limes haben muss, dann berechnet man diesen am einfachsten nach der Weise, wie das z.B.  Lu  schon gezeigt hat.

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Gut, das sollte ich jetzt schaffen. Werde es einfach mal mit vollständiger Induktion versuchen und wenn ich damit fertig bin, den Grenzwert berechnen. Falls ich doch noch einmal stecken bleibe, melde ich mich wieder. Danke für deine Hilfe und Erklärungen!

Answer 2

Du kannst im allgemeinen Fall allfällig mögliche Grenzwerte berechnen, indem du

a_n+1 := 1/(1+a_n)

im Grenzwert ansiehst:

a = 1/(1+a)    und das nach a auflöst.

Das kannst du sicher selbst. Sonst:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=a+%3D+1%2F%281%2Ba%29

Danach beurteilen, ob mit dem Startwert a₁ = 1 eines der gefundenen Resultate Grenzwert ist.

Comments

Das bekomme ich jetzt natürlich hin. Wäre das, was ich oben im Kommentar geschrieben  habe, auch richtig so mit der Nullfolge?

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Nein. Eine Nullfolge kann das nun nicht mehr sein, denn

0 ≠ 1/(1+0)   |soll ein Ungleichzeichen sein.

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Peinlich! Da habe ich gerade völlig falsch gedacht.

Mir ist noch nicht ganz klar, was du mit beurteilen meinst? Einfach den Startwert einsetzen?

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Ja. Wie in der andern Antwort vorgeschlagen einfach mal schauen, was passiert, wenn du mit a₁ anfängst.

Unter 0 solltest du aber eigentlich nicht kommen, da a₁>0.

Vergib aber die 'beste Antwort' nicht zu früh. Am besten bastelst du erst mal mit dem rum, was jetzt dasteht.

Vielleicht gibt dir ja jemand noch eine Antwort, die gleich den Beweis integriert, dass der vermutete Grenzwert auch wirklich Grenzwert ist.

Answer 3

(1)  Zeige per Induktion über  n, dass  a_n > 0  für alle  n  ist.
(2)  Zeige per Induktion über  n, dass  a_n ≤ 1  für alle  n  ist.
(3)  Zeige per Induktion über  n, dass  a_n ≥ 1/2  für alle  n  ist.
(4)  Zeige, dass die durch  b_n := a_n² + a_n - 1  definierte Folge  {bn}  eine Nullfolge ist.
(5)  Schließe, dass die Folge  {an}  konvergiert und berechne deren Grenzwert.